残差和全等

Question

从 APL 书中，我试图破译当 'j' 不是 0 时如何在 C 中转换 'r' 的计算：

For each set of integers n, j, and b, with b > 0, there exists a unique pair of integers q and r such that
  n = bq + r,   j ≤ r < j + b.
The quantity r is called the j-residue of n modulo b and is denoted by b | j n. For example, 3 |0 9 = 0, 3 |1 9 = 3, and 3 |0 10 = 1. Moreover, if n ≥ 0, then b |0 n is the remainder obtained in dividing n by b and q is the integral part of the quotient.

什么代表 'j' 以及如何在不通过在区间内迭代解析的情况下获得 r？

然后，该段的其余部分说：

In classical treatments, such as Wright (1939), only the 0-residue is considered. The use of 1-origin indexing (cf. Sec. 1.5) accounts for the interest of the 1-residue.

所以我猜想 n mod b 在 C 中例如是 b | j n 且 j=0，但我不明白为什么使用 'j=1' 有利于使用 1-origin 进行索引。这有什么用？

Answer 1

假设 N 很大（或为负）并且您有一个包含 b < N 个元素的数组。你想用 N 索引数组，但如果 N 大于数组中元素的数量。

在从 0 开始的 C 中，您需要 0...b-1 中的索引（均包含在内）。

在默认为 1 源的 APL 中，您需要 1...b 中的索引。

这可能就是 1-index 的用武之地。您可以计算 1-origin 从没有迭代的 fhe 0 原点开始：

if (idx == 0) idx = b;

Answer 2

Q1：是的。

在 b|j n 中，b 是 scalar-extended 以匹配 j n。所以它与 (b∣j),(b∣n). 相同 j 不是 ∠ 的修饰符。换句话说，b∣j n 不是 n 的 j-residue，而是 j 的 0-残基，然后是 n 的 0-残基。

在 GNU APL 中（我也相信所有其他 APL）你得到：

从一个 0 残基模 b 你可以得到 j-residue 通过添加 j∣b 到 0 残基:

Answer 3

符号，符号，符号。

艾弗森编程语言中使用的符号早于后来作为现代 APL 实现的符号。

我从 http://www.jsoftware.com/papers/APL.htm

那里得到了这个

因此 3 |0 9 将 0 写为下标，今天在几乎每个 APL 中都可以作为 3 | 9.

3 |1 9 其中 1 被写为下标并没有这样实现，但可以作为定义的运算符来解决。（我使用的是 Dyalog 13.1）

     ∇ r←x(i mod)y                        
[1]    r←i+x|y-i                          
     ∇                                    

      3 (0 mod) 9
0
      3 (1 mod) 9
3
      3 (0 mod) 10
1

      ⎕io←0
      3 (0 mod) ⍳9
0 1 2 0 1 2 0 1 2

      ⎕io←1
      3 (1 mod) ⍳9
1 2 3 1 2 3 1 2 3

残差和全等

Residues and congruence

apl