寻找整数到平方数的最小 "factorization"

Question

我要解决的问题：

给定一个 int n，return 这个 int 的最小 "factorization" 到全是正方形的数字。
我们在这里定义因式分解不是通常的方式：k 到 m 数字 (m1, m2, m3...) 的因式分解将是这样的：m1 + m2 + m3 + ... = k.

例如：设n = 12。最佳解决方案是：[4,4,4] 因为 4 是 2 和 4 + 4 + 4 = 12 的平方。还有 [9,1,1,1] 虽然它不是最小的，因为它是 4 个数字而不是前者的 3 个。

我尝试解决这个问题：

我的想法是给定的数字n我们将执行以下算法：
首先我们会找到最接近 n 的平方数（例如如果 n = 82 我们会找到 81.
然后我们将递归地计算我们得到的数字减去最接近它的平方。
这是一个流程示例：假设 n = 12 并且我们的函数是 f，我们计算 f(3) UNION {9} 然后 f(12-4) UNION {4} 然后f(12-2) 联盟 {2}。从每一个中我们得到一个方形组合列表，我们从中获取最小列表。我们将它们保存在 HashMap 中以避免重复（动态编程风格）。

Java 中的代码尝试（不完整）：

public List<Integer> getShortestSquareList(int n){
    HashMap<Integer,List<Integer>> map = new HashMap<Integer,List<Integer>();
    map.put(1, 1);
    List<Integer> squareList = getSquareList(n);
    return internalGetShortestSquareList(n, map, squareList);
}

List<Integer> getSquareList(int n){
    List<Integer> result=new ArrayList<Integer>();
    int i = 1;
    while(i*i <= n){
        result.add(i*i);
        i++;
    }
    return result;
}

public int getClosestSquare(int n,List<Integer> squareList){
    // getting the closestSquareIndex
}

public List<Integer> internalGetShortestSquareList(int n, HashMap<Integer m, HashMap<Integer,List<Integer>> map, List<Integer> squareList){
    if (map.contains(n)) {return map.get(n);}
    int closestSqureIndex=getClosestSquare(m,squareList);
    List<Integer> minSquareList;
    int minSize=Integer.MAX_INT;

    for(int i=closestSqureIndex; i>-1; i--) {
            int square = squareList.get(closestSqureIndex);
            List<Integer> tempSquares= new ArrayList<Integer>(square);
            tempSquares.addAll(f(n-square, map, squareList));

            if (tempSquares.size() < minSize) {
                minSize = tempSize;
                minSquareList = tempSquares;
            }

    }
    map.put(n, minSquareList);       
    return map.get(n);              
}

我的问题:

看来我的解决方案不是最优的（imo）。我认为我的解决方案的时间复杂度是 O(n)*O(Sqrt(n))，因为最大递归深度是 n，最大子节点数是 Sqrt(n)。我的解决方案可能充满了错误——目前这对我来说无关紧要。我将不胜感激任何指导以找到更优化的解决方案（伪代码或其他方式）。

Answer 1

基于@trincot 的 link，我会建议一个简单的 O(n sqrt n) 算法。这个想法是：

对小于或等于 n 的正方形进行穷举搜索，以确定 n 是否是一个正方形本身，或者是任何两个或三个小于 n 的正方形的总和.这可以在 sqrt(n)^3 时间内完成，即 O(n sqrt n).
如果失败，则在四个方格中找到 "factorization" 个 n。

递归求一个数m的4次因式分解，现在有三种情况：

m是素数而m mod 4 = 1。根据math，我们知道n是两个平方的乘积。简单的详尽搜索或更多 "mathy" 方法都应该给出一个简单的答案。
m是素数而m mod 4 = 3。这种情况仍然需要计算出细节，但可以使用 link.
m是合数。这是递归的情况。首先将 m 分解为两个因子，即整数 u 和 v，以便 u*v=m。出于性能原因，它们应该尽可能接近，但这是次要细节。

之后，递归求u和v的四次分解。

然后，使用 the formula:

(a^2+b^2+c^2+d^2) (A^2+B^2+C^2+D^2) = (aA+bB+cC+dD)^2 + (aB-bA+cD-dC)^2 + (aC-bD-cA+dB)^2 + (aD-dA+bC-cB)^2

找到 m 的 4 次因式分解。在这里我表示 u = (a^2+b^2+c^2+d^2) 和 v = (A^2+B^2+C^2+D^2)，因为此时它们的 4 分解是已知的。

Answer 2

更简单的解决方案：

这是 Coin Change 问题的一个版本。您可以使用硬币调用以下方法作为小于金额的平方数列表（在您的示例中为n）。

示例：amount=12、coins={1,2,4,9}

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int max = amount + 1;             
    int[] dp = new int[amount + 1];  
    Arrays.fill(dp, max);  
    dp[0] = 0;   
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

它的复杂度是 O(n*m)，其中 m 是硬币的数量。因此，在您的示例中，它的复杂性与您提到的相同 O(n*sqrt(n)) 它用动态规划解决了 - 自下而上的方法。代码取自 here.

寻找整数到平方数的最小 "factorization"

Finding minimal "factorization" of an int to square-numbers

java

algorithm

pseudocode

dynamic-programming

factorization