了解最长公共子序列算法的时间复杂度

Question

我不明白最长公共子序列算法的递归函数具有 O(2^n) 的复杂性。

通常，我可以将此符号与算法的基本操作（在本例中为比较）的数量联系起来，但这次在我看来没有意义。

例如，有两个长度相同的字符串5。在最坏的情况下，递归函数计算 251 比较。 2^5 甚至不接近那个值。

谁能解释一下这个函数的算法复杂度？

def lcs(xstr, ystr):
    global nComp
    if not xstr or not ystr:
        return ""
    x, xs, y, ys = xstr[0], xstr[1:], ystr[0], ystr[1:]
    nComp += 1
    #print("comparing",x,"with",y)
    if x == y:
        return x + lcs(xs, ys)
    else:
        return max(lcs(xstr, ys), lcs(xs, ystr), key=len)

Answer 1

O(2^n) 表示运行时间 与 (2^n) 成比例 对于 足够大 n。这并不意味着这个数字是坏的、高的、低的，或者任何特定于 small n 的东西，它也没有给出计算绝对 run-time.

要感受其中的含义，您应该考虑 n = 1000、2000、3000 甚至 100 万、200 万等的 run-times

在您的示例中，假设对于 n=5，算法最多进行 251 次迭代，那么 O(n) 预测是对于 n=50，它将在 范围内 2^(50)/2^(5)*251 = 2^45*251 = ~8.8E15 次迭代。

Answer 2

要正确理解它，请仔细查看图表并在阅读图表时遵循递归 top-to-down 方法。

Here, xstr = "ABCD"
      ystr = "BAEC"

                                    lcs("ABCD", "BAEC")       // Here x != y 
                                  /                     \  
                lcs("BCD", "BAEC")   <--  x==y   -->    lcs("ABCD", "AEC")  x==y
                          |                                        |
                          |                                        |
                  lcs("CD", "AEC")   <--  x!=y   -->     lcs("BCD", "EC")
                 /                \                     /                \
                /                  \                   /                  \
               /                    \                 /                    \
      lcs("D","AEC")                  lcs("CD", "EC")              lcs("BCD", "C")
    /                \              /               \              /        \       
lcs("", "AEC")        lcs("D","EC")                  lcs("CD", "C")        lcs("BCD","")
  |        \         /              \                       |             /       |
Return     lcs("", "EC")    lcs("D" ,"C")            lcs("D", "")   lcs("CD","")  Return
           /         \       /         \             /        \       /        \ 
        Return      lcs("","C")    lcs("D","") lcs("","")  Return  lcs("D","")  Return
                     /     \         /     \      /                 /      \
                  Return   lcs("","")       Return            lcs("", "")  Return
                                 |                                  |
                              Return                            Return

注意：递归调用的正确表示方式通常是使用树的方法来完成，但这里我使用图的方法只是为了压缩树以便于理解一次递归调用。而且，当然，我很容易代表。

因为，在上图中有一些冗余对，如lcs("CD", "EC")，这是从lcs("CD", "AEC")中的"AEC"中删除"A"的结果=] 和 lcs("BCD", "EC") 中 "BCD" 的 "B"。结果，这些对将在执行时被调用不止一次，这增加了程序的时间复杂度。
您可以很容易地看到，每一对都会为其下一个级别生成两个结果，直到它遇到任何空字符串或 x==y。因此，如果字符串的长度为n，m （考虑到xstr的长度为n，ystr的长度为m，我们考虑的是最坏的情况）.然后，我们将在订单末尾有数字结果：2^n+m。（怎么？想）

因为，n+m 是一个整数，比方说 N。因此，算法的时间复杂度：O(2^N)，对于N[的较大值效率不高=59=].

因此，我们更喜欢 Dynamic-Programming 方法而不是递归方法。可以降低时间复杂度为：O(n.m) => O(n²) , 当 n == m.

即使是现在，如果您很难理解其中的逻辑，我建议您制作一个 tree-like （不是我在这里展示的图表） xstr = "ABC" 和 ystr = "EF" 的表示。希望大家理解。

如有任何疑问，欢迎评论。

了解最长公共子序列算法的时间复杂度

Understanding the time complexity of the Longest Common Subsequence Algorithm

algorithm

recursion

lcs

subsequence