多少种可能的数字组合构成相同的二叉树

Question

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我有一个代表二叉树的数字列表。第一个数字与其他数字的处理方式不同，它是根。在 "the rest" 个数字中，有些会高于根，有些会低于根。较高的数字按顺序向左移动，而较小的数字按顺序向右移动。示例：

list = [5,7,6,8,9,2,1,3,4]
root = 5
higher = [7,6,8,9] #in order of appearance
    root = 7
    higher = [8,9]
    lower  = [6]
lower  = [2,1,3,4] #in order of appearance
    root = 2
    higher = [3,4]
    lower  = [1]

在这种情况下，树看起来像这样：

                                      5
                        -------------| |--------------
                       |                             |
                       7                             2
             8--------| |-------6             3-----| |-----1
         ---|                              ---|
        9                                 4

我正在寻找一种方法来模拟列表 [5,7,6,8,9,2,1,3,4] 可以排列的可能组合的数量，以便生成相同的二叉树。解决方案肯定是递归的，因为在 "higher" 和 "lower" 数字列表中，它们可以被分解得更多。

想出所有数字有多少种排列方式，可以像我们对上面的列表所做的那样，通过分解树来开始。

Parents可以混用，children可以混用，但是children和parents不能混用

higher = [7,6,8,9]

但是 higher 列表不需要保留其 [7,6,8,9] 的顺序。只有不是 parents 到另一棵树的更高根的项目需要按出现顺序保留。因为6和8都是7的child任，所以可以互换，但是9必须在8之前，因为是它的child。所以基本上重新排列这个列表的唯一规则是：

必须以 7 开头
8 必须总是在 9 之前

因此有了这三个组合。

[7,6,8,9]
[7,8,6,9]
[7,8,9,6]

所有这些都可以分解成相同的sub-trees，所以我们的条件就满足了，现在我们可以看看元素列表lower比主根

lower = [2,1,3,4]

下层列表也不需要保留其顺序，它遵循类似的规则，可以用三种不同的方式编写以生成相同的树：

[2,1,3,4]
[2,3,1,4]
[2,3,4,1]

我们现在有以下信息： - 较低的可以写成3种方式 - 更高的可以写成3种方式

有多少种不同的方法可以组合成同一棵树？这是 3^3 吗？或者更多？

看看我知道的数字：

list = [5,7,6,8,2,1,3,4]

如果我列出每个位置可能出现的号码，这是我最终得到的号码：

列表的第一个元素必须是5，它是根。之后它必须是 2 或 7，因为任何其他内容都会破坏 higher/lower 列表的顺序。之后就乱了。

如果第二个数字 = 2，则第三个数字可以是 1、3 或 7 中的一个。

如果第二个数字 = 7，则第三个数字可以是 6、8 或 2 中的一个。

在此之后它扩展得更大并且组合上升得非常快。我的问题是，有没有办法以有效的方式递归检索可能组合的总数？我将在 python 中执行此操作。谢谢。

Answer 1

据我了解，您希望拓扑阶数与图形兼容，其中每个节点都有一个到其父节点的弧。我将在未经测试的 Python 中草拟一个解决方案。首先我们需要一个节点数据类型。

import collections

Node = collections.namedtuple('Node', ('left', 'right'))

树是 None（空树）或 Node，其中两个字段都是树。

现在，空树的拓扑阶数是1，也就是空阶。非空树的拓扑阶数由以下计数参数给出。根永远是第一位的。在根之后，左子树的任意拓扑顺序与右子树的任意拓扑顺序任意打乱。因此，该公式是三个因素的乘积。

import math

def num_shuffles(left_size, right_size):  # binomial coefficient
    return (math.factorial(left_size + right_size) //
            (math.factorial(left_size) * math.factorial(right_size)))

def num_orders_and_size(tree):
    assert isinstance(tree, (type(None), Node))
    if tree is None:
        return (1, 0)
    else:
        left_num_orders, left_size = num_orders_and_size(tree.left)
        right_num_orders, right_size = num_orders_and_size(tree.right)
        return (num_shuffles(left_size, right_size) *
                left_num_orders * right_num_orders,
                left_size + 1 + right_size)

为了从列表构建树，我们使用递归（有更快的方法，但这是最简单的方法）。

def tree_from_list(lst):
    if not lst:
        return None
    root = lst[0]
    left_lst = [x for x in lst if x > root]
    right_lst = [x for x in lst if x < root]
    return Node(tree_from_list(left_lst), tree_from_list(right_lst))

Answer 2

基于上述想法....这里是 python 生成器代码，用于生成所有等效排序。

import collections

Node = collections.namedtuple('Node', ('root','left', 'right'))

def tree_from_list(lst):
    if not lst:
        return None
    root = lst[0]
    left_lst = [x for x in lst if x > root]
    right_lst = [x for x in lst if x < root]
    return Node(root,tree_from_list(left_lst), tree_from_list(right_lst))

def parent(key, tree):
    if tree is None:
        return -1
    elif (tree.left != None) and (tree.left.root == key): 
        return tree.root
    elif (tree.right != None) and  (tree.right.root == key):
        return tree.root
    elif (key > tree.root):
        return parent(key, tree.left)
    else: return parent(key, tree.right)

def all_insert_after(key, target, seq):
    i = seq.index(key)
    for j in range(i,len(seq)):
            mylist =  seq[:j+1] + [target] + seq[j+1:]
            yield mylist

def all_equivalent_orderings(seq):
    if (len(seq)==1):
    yield seq
    else:
        z = seq[-1]
        p = parent(z, tree_from_list(seq))
        for a in all_equivalent_orderings(seq[:-1]):    
            for b in all_insert_after(p,z,a):
                yield b  

print "Here are all 630 equivalent orderings of [5,7,6,8,9,2,1,3,4]"         
for o in all_equivalent_orderings([5,7,6,8,9,2,1,3,4]):
    print o

多少种可能的数字组合构成相同的二叉树

How many possible combinations of numbers make the same binary tree

python

algorithm

recursion

binary-tree

combinations

设置：

Parents可以混用，children可以混用，但是children和parents不能混用