R：找到产生最大 R 平方值的表达式的系数？

Question

假设我已经将数据输入到数据框中，如下所示：

df = data.frame(x = c(1,2,3,4,5,10,15,25,50), 
                y = c(.57,.75,.82,0.87,.89,.95,.97,.98,.99))
df

我希望适合表达式：

y = ((x/a)^b)/(1+(x/a)^b)

其中 a 和 b 是未知参数。

我通过猜测 a 和 b 的值绘制了点并画了一条拟合线：

library(ggplot2)
graph <- ggplot(df, aes(x=x, y=y))
graph <- graph + geom_point()

a = 0.50
b = 1.00
guesstimate <- function(x){((x/a)^b)/(1+(x/a)^b)}
graph <- graph + stat_function(fun = guesstimate)
graph

但是，我想找到 a 和 b 的值，它们创建了一个产生最高 R^2 平方值的表达式；即对数据的最佳数学拟合。

问题：除了手动猜测 a 和 b 的值并用肉眼检查哪个最合适，有没有办法让 R 找到 'best' a 和 b 值以及提供 R 平方值向我确认所选的 a 和 b 值确实是最合适的？

Answer 1

您可以使用 nls（non-linear 最小二乘）函数：

m1 = nls(y ~ (x/a)^b/(1+(x/a)^b), list(a=1, b=1), data=df)

summary(m1)

Formula: y ~ (x/a)^b/(1 + (x/a)^b)

Parameters:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
  a 0.779291   0.009444   82.51 1.01e-11 ***
  b 1.145174   0.012733   89.94 5.53e-12 ***
  ---
  Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.003086 on 7 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 4 
Achieved convergence tolerance: 5.949e-08

ggplot(df, aes(x,y)) + 
  geom_point() +
  geom_line(data=data.frame(x=seq(1,50,0.1), y=predict(m1, newdata=list(x=seq(1,50,0.1)))), 
            aes(x,y), colour="red")

nls 不提供 r-squared 值，因为如 this thread on R-help 中所述，r-squared 对于 non-linear 模型不一定有意义。然而，nls 确实找到了使残差最小化的参数值 sum-of-squares，因此从这个意义上说，这些参数为给定的数据和模型提供了最佳拟合。这并不意味着没有其他模型规格可以提供更好的拟合度，尽管在这种情况下模型拟合度几乎是完美的。

Answer 2

即使不明显，也可以在这里应用线性模型，只需使用基本代数即可。事实上，从 1/y = (1+(x/a)^b)/(x/a)^b 开始，稍加操作，您可以到达：

log(1/y - 1) = -b*log(x) + b*log(a)

这基本上是变量 Y = log(1/y - 1) 和 X = log(x) 的线性模型。从这里，您可以使用 lm:

df2<-data.frame(Y = log(1/df$y - 1), X = log(df$x))
coeffs<-lm(Y ~ X, data=df2)$coefficients
a <-  exp(-model[1]/model[2])
# 0.7491387
b <- -model[2]
#1.116111

与nls.

获得的结果相似

R：找到产生最大 R 平方值的表达式的系数？

R: Finding the coefficients of an expression which produce the largest R-squared value?

regression

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