Monte carlo 集成不起作用？

Question

我希望将 (1/y)*(2/(1+(log(y))^2)) 从 0 积分到 1。Wolfram alpha 告诉我这应该是 pi。但是当我在 R 中进行 monte carlo 集成时，我在尝试 10 次以上后不断得到 3.00 和 2.99。这就是我所做的：

y=runif(10^6)
f=(1/y)*(2/(1+(log(y))^2))
mean(f)

我将确切的函数复制到 wolfram alpha 中以检查积分应该是 pi

我试图通过检查它的均值和绘制直方图来检查我的 y 是否正确分布，它似乎没问题。会不会是我的电脑出问题了？

编辑：也许其他人可以复制我的代码并运行自己复制，以确认不是我的电脑出了问题。

Answer 1

好，先从简单的变换开始，log(x) -> x，做积分

I = S 2/(1+x^2) dx, x in [0...infinity]

其中 S 是积分符号。

所以函数 1/(1+x^2) 单调且合理地快速下降。我们需要一些合理的 PDF 来对 [0...infinity] 区间内的点进行采样，从而覆盖大部分原始函数显着的区域。我们将使用带有一些自由参数的指数分布，我们将使用这些参数来优化采样。

I = S 2/(1+x^2)*exp(k*x)/k k*exp(-k*x) dx, x in [0...infinity]

因此，我们有 k*e^-kx 作为 [0...infinity] 范围内的正确归一化 PDF。要集成的函数是 (2/(1+x^2))*exp(k*x)/k。我们知道指数采样基本上是-log(U(0,1))，所以代码很简单

k <- 0.05

# exponential distribution sampling from uniform vector
Fx <- function(x) {
    -log(x) / k
}

# integrand
Fy <- function(x) {
    ( 2.0 / (1.0 + x*x) )*exp(k*x) / k
}

set.seed(12345)

n <- 10^6L
s <- runif(n)

# one could use rexp() as well instead of Fx
# x <- rexp(n, k)
x <- Fx(s)

f <- Fy(x)

q <- mean(f)

print(q)

结果等于 3.145954，种子 22345 结果等于 3.135632，种子 32345 结果等于 3.146081。

更新

返回原始函数 [0...1] 非常简单

更新二

根据 prof.Bolker 建议更改

Monte carlo 集成不起作用？

Monte carlo integration not working?

r

random

montecarlo