高斯消除不起作用

Question

我尝试编写一个使用高斯消去法进行 LU 分割的程序。我的程序将矩阵 A 拆分为 A=LR，其中 L、R 是三角矩阵。这非常有效。设 Ax=b 为方程组。我对该程序的输入是 (A,b)，我希望将上三角矩阵 R 应用于 b 的操作就像我们在学校使用高斯消元法求解系统一样。那部分似乎不起作用。

有人能告诉我为什么它不起作用吗？

function [ x ] = Gauss( A,b )
n=length(b);
for j=1:n-1
    if A(j,j)==0
        break;
    end;

    for i=j+1:n
       A(i,j)=A(i,j)/A(j,j);
       b(j)=b(i)-A(i,j)*b(j)

       for k=j+1:n
          A(i,k)=A(i,k)-A(i,j)*A(j,k);
       end
    end
end
 b
end

Answer 1

你说你的代码正确地创建了 A 的上三角矩阵，但它没有。让我举个例子。

设A和b为

A =

 3     2     3     4
 4     3     2     1
 1     0     4     0
 0     5     0     3

b =

 2
 4
 6
 7

如果我们运行你的代码，然后查看 A 和 b，我们得到

A =

3.0000    2.0000    3.0000    4.0000
1.3333    0.3333   -2.0000   -4.3333
0.3333   -2.0000   -1.0000  -10.0000
     0   15.0000  -30.0000 -232.0000


b =

7.0000
-203.0000
187.0000
7.0000

这既不是三角矩阵，也不是我们期望的b。但是，如果我们稍微修改您的程序为：

function [ x ] = Gauss( A,b )
n=length(b);
for j=1:n-1
    if A(j,j)==0
        break;
    end;

    for i=j+1:n
       f=A(i,j)/A(j,j);  %%Save the proportion between the rows in a
                         %%different variable outside the matrix, or
                         %%you will loose the value that was originally there


       b(i)=b(i)-f*b(j);   %%The operation has to be done in the row you are currently working

       for k=1:n    %%You have to make the operation in the full row,
                    %%not only in the remaining columns, also you can 
                    %%make this without a for loop using `:`
                    %%indexing, but if you dont know about it, 
                    %%leave as it is, it works
          A(i,k)=A(i,k)-f*A(j,k);
       end
    end
end
A
b
end

你得到这个结果

A =

3.0000    2.0000    3.0000    4.0000
     0    0.3333   -2.0000   -4.3333
     0         0   -1.0000  -10.0000
     0         0         0 -232.0000


b =

2.0000
1.3333
8.0000
227.0000

其中是一个上三角矩阵，就是我们要的b。希望你可以从这里开始，作为参考，接下来的步骤应该是这样的

A =

1.0000    0.6667    1.0000    1.3333
     0    1.0000   -6.0000  -13.0000
     0         0    1.0000   10.0000
     0         0         0    1.0000


b =

0.6667
4.0000
-8.0000
-0.9784

然后

 A =

 1     0     0     0
 0     1     0     0
 0     0     1     0
 0     0     0     1


b =

-1.1379
1.9871
1.7845
-0.9784

其中A已经是一个单位矩阵，这意味着b已经是我们的答案，我们可以证实做

A\b

ans=

-1.1379
1.9871
1.7845
-0.9784

高斯消除不起作用

Gaussian Elimination not working

matlab

function

equation

equation-solving