"improve" 单位长度向量的长度的快速方法
Fast way to "improve" the length of a unit length vector
当已知向量已经几乎是单位长度时，在性能关键代码中支付完整的向量规范化似乎是浪费。
有谁知道让双精度 3D 向量的长度更接近 1 的快速、实用的方法吗？我正在想象一种基于 Newton-Raphson 迭代或 1 左右有限泰勒展开的迭代方法。
Here 是一种实际情况，在这种情况下，这样的例程可能会有用。 incoming 向量已经接近单位长度，但如果没有明确的规范化，它仍然会触发断言。
可以使用 SSE 2、SSE 4.2 或 AVX 内在函数。
手头的问题归结为找到（近似值）reciprocal square root。
SSE 和 AVX 包括一个近似倒数平方根机器指令，rsqrt，它特别适合这个。根据原文AMD64 Architecture Programmer's Manual, volume 1，平方根倒数变体的最大相对误差最多为1.5×2-12，即小于0.0004
如果使用GCC，可以使用__builtin_ia32_rsqrtss()SSE built-in函数计算向量长度平方的倒数平方根，并将向量分量乘以结果，得到得到一个 "almost unit" 向量。
请注意，SSE 和 AVX 都提供了加速平方长度计算以及乘以每个分量的函数。 （不过，您需要将比例因子复制到大小相等的向量。）
没有SSE/AVX，一般的问题是我们希望将向量分量乘以 f(S) ≃ sqrt(1/S ) == 1/sqrt(S)，其中S是向量与自身的内积（点积） ，即其长度的平方；但是 sqrt() 被认为太慢了，并且已知 S 已经接近 1.
任意函数f(S)，其值在1和sqrt(1/S)之间，在我们考虑的范围内"close to 1"，将工作。我能想到的最简单的函数形式是 f(S) = (C + 1 - S) / C。对于 S = 0.52 到 22 （即对于长度在 1/2 和 2 之间的向量), C 是 6.
如果我们没有任何对平方根倒数的硬件支持，我将尝试的第一个近似值将遵循以下几行：
计算向量的平方长度S
计算 M = 0.125 * (9 - S)
注意任何常量对 C1 和 C2 = 1 + 1 / C1 应该有效，只是范围和收敛速度不同。我选择 C1 = 1/8 只是因为它在 IEEE-754 floating-point 表示中是精确的，通常是乘法比除法快得多。其他值（如我上面提到的范围为 0.5 到 2 的 1/6）不精确，可能需要手动调整（以一种或另一种方式调整两个常量中的最低有效单位）。
将向量的每个分量乘以 M。
如果这没有产生足够好的结果，我会停止担心它，而是使用（硬件）平方根。 （在某些架构上，将平方长度转换为单精度以计算比例因子可以产生显着的加速。但是在 x86/AMD64 上则不然。）
当已知向量已经几乎是单位长度时，在性能关键代码中支付完整的向量规范化似乎是浪费。
有谁知道让双精度 3D 向量的长度更接近 1 的快速、实用的方法吗？我正在想象一种基于 Newton-Raphson 迭代或 1 左右有限泰勒展开的迭代方法。
Here 是一种实际情况，在这种情况下，这样的例程可能会有用。 incoming 向量已经接近单位长度，但如果没有明确的规范化，它仍然会触发断言。
可以使用 SSE 2、SSE 4.2 或 AVX 内在函数。
手头的问题归结为找到（近似值）reciprocal square root。
SSE 和 AVX 包括一个近似倒数平方根机器指令，rsqrt，它特别适合这个。根据原文AMD64 Architecture Programmer's Manual, volume 1，平方根倒数变体的最大相对误差最多为1.5×2-12，即小于0.0004
如果使用GCC，可以使用__builtin_ia32_rsqrtss()SSE built-in函数计算向量长度平方的倒数平方根，并将向量分量乘以结果，得到得到一个 "almost unit" 向量。
请注意，SSE 和 AVX 都提供了加速平方长度计算以及乘以每个分量的函数。 （不过，您需要将比例因子复制到大小相等的向量。）
没有SSE/AVX，一般的问题是我们希望将向量分量乘以 f(S) ≃ sqrt(1/S ) == 1/sqrt(S)，其中S是向量与自身的内积（点积） ，即其长度的平方；但是 sqrt() 被认为太慢了，并且已知 S 已经接近 1.
任意函数f(S)，其值在1和sqrt(1/S)之间，在我们考虑的范围内"close to 1"，将工作。我能想到的最简单的函数形式是 f(S) = (C + 1 - S) / C。对于 S = 0.52 到 22 （即对于长度在 1/2 和 2 之间的向量), C 是 6.
如果我们没有任何对平方根倒数的硬件支持，我将尝试的第一个近似值将遵循以下几行：
计算向量的平方长度S
计算 M = 0.125 * (9 - S)
注意任何常量对 C1 和 C2 = 1 + 1 / C1 应该有效，只是范围和收敛速度不同。我选择 C1 = 1/8 只是因为它在 IEEE-754 floating-point 表示中是精确的，通常是乘法比除法快得多。其他值（如我上面提到的范围为 0.5 到 2 的 1/6）不精确，可能需要手动调整（以一种或另一种方式调整两个常量中的最低有效单位）。
将向量的每个分量乘以 M。
如果这没有产生足够好的结果，我会停止担心它，而是使用（硬件）平方根。 （在某些架构上，将平方长度转换为单精度以计算比例因子可以产生显着的加速。但是在 x86/AMD64 上则不然。）