R 在 3NF 中当且仅当 R 在 BCNF 中？
R in 3NF if and only if R in BCNF?
考虑关系 R 和函数依赖集 F ，仅包括一个函数依赖：{X->A}。
证明如果 R 在 3NF 中当且仅当 R 在 BCNF 中。
到目前为止，<- 方向根据定义是微不足道的。但我努力向 -> 方向努力。我们对 F-closure 了解多少？根据定义，我需要检查 F-closure 中的每个函数依赖性 Y->B，它的琐碎或 Y 是超级键。是否有关于我遗漏的 R 超级密钥的一些结论？
这是证明的草图。
BCNF 中的关系模式暗示该模式也在 3NF 中的事实是由于 3NF 的定义（每个行列式是一个超键或仅暗示素数属性，我们知道每个行列式是一个超键，因为架构在 BCNF 中）。
所以我们必须证明如果关系是3NF，那么它也是BCNF。
现在考虑唯一的依赖项 {X->A}。对于 3NF 的定义，X 是超键，或者 A 是素数。
在第一种情况下，如果 X 是一个超键，我们知道模式也在 BCNF 中。
因此，我们只需要检查 X 不是（超级）键且 A 是质数的情况。
我们可以通过以下步骤证明这种情况是不可能的。
我们只有两种可能，要么X包含A，要么不包含。
如果 X 包含 A 那么这个依赖是微不足道的，而且，因为没有其他依赖，X 是一个键，这违反了我们的假设，所以我们有矛盾。
另一方面，如果 X 不包含在 A 中，那么 X 又是一个键，这再次与我们的假设相矛盾。
最后，请注意，在这个证明中，我假设 R 中没有其他属性来自 XU{A} 的一部分，否则那些其他属性应该出现在关系的任何键中，并且至少应该有另一个依赖关系。
考虑关系 R 和函数依赖集 F ，仅包括一个函数依赖：{X->A}。
证明如果 R 在 3NF 中当且仅当 R 在 BCNF 中。
到目前为止，<- 方向根据定义是微不足道的。但我努力向 -> 方向努力。我们对 F-closure 了解多少？根据定义，我需要检查 F-closure 中的每个函数依赖性 Y->B，它的琐碎或 Y 是超级键。是否有关于我遗漏的 R 超级密钥的一些结论？
这是证明的草图。
BCNF 中的关系模式暗示该模式也在 3NF 中的事实是由于 3NF 的定义（每个行列式是一个超键或仅暗示素数属性，我们知道每个行列式是一个超键，因为架构在 BCNF 中）。
所以我们必须证明如果关系是3NF，那么它也是BCNF。
现在考虑唯一的依赖项 {X->A}。对于 3NF 的定义，X 是超键，或者 A 是素数。
在第一种情况下，如果 X 是一个超键，我们知道模式也在 BCNF 中。
因此，我们只需要检查 X 不是（超级）键且 A 是质数的情况。
我们可以通过以下步骤证明这种情况是不可能的。
我们只有两种可能，要么X包含A，要么不包含。
如果
X包含A那么这个依赖是微不足道的，而且，因为没有其他依赖，X是一个键，这违反了我们的假设，所以我们有矛盾。另一方面，如果
X不包含在A中，那么X又是一个键，这再次与我们的假设相矛盾。
最后，请注意，在这个证明中，我假设 R 中没有其他属性来自 XU{A} 的一部分，否则那些其他属性应该出现在关系的任何键中，并且至少应该有另一个依赖关系。