scipy 中的 dblquad 与 matlab 给出不同的结果

Question

我想双重集成一个功能。但是在 scipy.integrate 和 matlab 上使用 dblquad 时，我得到了不同的结果。我的双重积分功能的 python 实现是这样的：

###Python implementation##
import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad

def InitialCondition(x_b, y_b, m10, m20, N0):

    IC = np.zeros((len(x_b)-1,len(y_b)-1))
    for i in xrange(len(x_b) - 1):
        for j in xrange(len(y_b) - 1):
            IC[i,j], abserr =  dblquad(ExponenIC, x_b[i], x_b[i + 1], lambda x: y_b[j], lambda x: y_b[j+1], args=(m10, m20, N0), epsabs=1.49e-15, epsrel=1.49e-15)
    return IC

def ExponenIC(x, y, m10, m20, N0):

    retVal = (16 * N0) / (m10 * m20) * (x / m10)* (y / m20) * np.exp(-2 * (x / m10) - 2 * (y / m20))

    return retVal


if __name__=='__main__':
    x_min, x_max  = 0.0004, 20.0676
    x_b = np.exp(np.linspace(np.log(x_min), np.log(x_max), 4))
    y_b = np.copy(x_b)
    m10, m20, N0 = 0.04, 0.04, 1
    print InitialCondition(x_b, y_b, m10, m20, N0)

但如果我在 matlab 中重复相同的操作，具有等效的实现和相同的输入，如下所示：

%%%Matlab equivalent%%%
function IC = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)
for i = 1:length(x_b)-1
      for j = 1:length(y_b)-1
          IC(i, j) = dblquad(@ExponenIC, x_b(i), x_b(i+1), y_b(j), y_b(j+1), 1e-6, @quad, m10, m20, N0);
      end
end
return

function retVal = ExponenIC(x, y, m10, m20, N0)

 retVal = (16 * N0) / (m10*m20) * (x / m10) .* (y / m20) .* exp(-2*(x/m10) - 2 * (y/m20));  

return

% for calling
x_min = 0.0004;
x_max = 20.0676;
x_b  =  exp(linspace(log(x_min), log(x_max), 4));
y_b = x_b;
m10 =  0.04;
m20  =  0.04;
N0 = 1;
I = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)

Scipy dblquad returns:

[[  2.84900512e-02   1.40266599e-01   7.34019842e-12]
 [  1.40266599e-01   6.90582083e-01   3.61383932e-11]
 [  7.28723691e-12   3.58776449e-11   1.89113430e-21]]

和 Matlab dblquad returns:

IC =
    28.4901e-003   140.2666e-003   144.9328e-012
   140.2666e-003   690.5820e-003   690.9716e-012
   144.9328e-012   690.9716e-012   737.2926e-021

我曾尝试更改容差和输入顺序，但两种解决方案始终不同。因此，我无法理解哪个是准确的，我希望在 python 中更正。有人可以建议这是 dblquad 求解器或我的代码中某处的错误吗？

Answer 1

从结果来看，Matlab输出中重复出现690（在Python有不同结果的地方）让人怀疑Matlab的性能。

在 Matlab 中使用（已弃用的）函数 dblquad 的一个问题是您指定给它的公差是 absolute（据我所知）。这就是为什么当您指定 1e-6 时，1e-11 阶积分出现错误的原因。当您将它替换为 1e-12 时，计算会花费更长的时间（因为现在必须以更高的精度计算更大的积分），但最小的积分（大小为 1e-21）仍然是错误的。

因此，您应该使用支持相对容错的例程，例如integral2。

用 dblquad 替换 Matlab 行

IC(i, j) = integral2(@(x,y) ExponenIC(x,y, m10, m20, N0), x_b(i), x_b(i+1), y_b(j), y_b(j+1), 'RelTol', 1e-12);

我明白了

0.0284900512006556     0.14026659933722     7.10653215130477e-12
0.14026659933722       0.690582082532588    3.51109000906259e-11 
7.10653215130476e-12   3.5110900090626e-11  1.78512164747727e-21

这与 Python 输出大致一致。尽管如此，仍然存在实质性差异。为了彻底解决这个问题，我对积分进行了解析计算。确切的结果是

 0.0284900512006717     0.140266599337199     7.28723691243472e-12 
 0.140266599337199      0.690582082532677     3.58776449039036e-11 
 7.28723691243472e-12   3.58776449039036e-11  1.86394265998016e-21

两个包都没有达到预期的精度，但 Python/scipy 更接近。

为了完整起见，输出解析解的循环：

function IC = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)
F = @(x,a)  -0.25*exp(-2*x/a)*(2*x+a);
for i = 1:length(x_b)-1
      for j = 1:length(y_b)-1
          IC(i,j) = (16 * N0) / (m10*m20) *(F(x_b(i+1),m10)-F(x_b(i),m10)) * (F(y_b(j+1),m20)-F(y_b(j),m20));
      end
end
end

scipy 中的 dblquad 与 matlab 给出不同的结果

dblquad in scipy vs. matlab giving different results

python

integration

matlab

numpy

scipy