证明 5^n = o(n!)
Prove that 5^n = o(n!)
请帮我指点一下如何证明这一点。我可以通过随机找到 n 的值来证明 n！大于 5^n。但是谁能帮我用数学证明一下。
使用归纳法。
如果 5^n < n! 和 5 <= n+1，则 5^(n+1) == 5 * 5^n < (n+1) * n! == (n+1)!。
5^n = o(n!) <=> if n close to ∞ limit 5^n/n! close to 0
证明：
set An = 5^n/n!, when n > 10, An = 5^n/n! < 1/(n-5)!
for An > 0 and limit 1/(n-5)! close to 0, then 0 <= limit An <= limit 1/(n-5)! <= 0
so limit 5^n/n! close to 0, and 5^n = o(n!)
请帮我指点一下如何证明这一点。我可以通过随机找到 n 的值来证明 n！大于 5^n。但是谁能帮我用数学证明一下。
使用归纳法。
如果 5^n < n! 和 5 <= n+1，则 5^(n+1) == 5 * 5^n < (n+1) * n! == (n+1)!。
5^n = o(n!) <=> if n close to ∞ limit 5^n/n! close to 0
证明：
set An = 5^n/n!, when n > 10, An = 5^n/n! < 1/(n-5)!
for An > 0 and limit 1/(n-5)! close to 0, then 0 <= limit An <= limit 1/(n-5)! <= 0
so limit 5^n/n! close to 0, and 5^n = o(n!)