三个或更多集合并集的概率

Question

考虑以下概率集（这三个事件并不互斥）：

0.05625 次成功，0.94375 次失败
0.05625 次成功，0.94375 次失败
0.05625 次成功，0.94375 次失败

如何计算至少发生一个事件（即联合）的概率？

如果可能的话，我更喜欢通用的 self-contained 解决方案，它也可以处理 4 个或更多事件。在这种情况下，我正在寻找的答案是：

0.05625 + 0.05625 + 0.05625 -
0.05625*0.05625 - 0.05625*0.05625 - 0.05625*0.05625 +
0.05625*0.05625*0.05625
##[1] 0.1594358

我的问题最终比标题更广泛，因为我正在寻找可以计算 union、intersection[=37 的概率的函数=] (0.05625*0.05625*0.05625 = 0.0001779785)、没有事件发生 (1 - 0.1594358 = 0.8405642) 或 只有一个事件发生 (0.150300).换句话说，这个 on-line Conjunction of three events calculator 的 R 解决方案。我已经查看了 prob 包，但它的接口似乎对于如此简单的 use-case 来说太复杂了。

Answer 1

等概率

您可以使用二项式密度函数 dbinom 获得恰好 0、1、2 或 3 次发生的概率，其中 returns 恰好获得指定成功次数的概率（第一个参数）给定独立尝试的总数（第二个参数）和每次尝试的成功概率（第三个参数）：

dbinom(0:3, 3, 0.05625)
# [1] 0.8405642090 0.1502995605 0.0089582520 0.0001779785

所以如果你想要至少发生一个的概率，那就是：

sum(dbinom(1:3, 3, 0.05625))
# [1] 0.1594358

或

1 - dbinom(0, 3, 0.05625)
# [1] 0.1594358

dbinom 功能也可以解决您的其他问题。例如，所有发生的概率是：

dbinom(3, 3, 0.05625)
# [1] 0.0001779785

正好是一个的概率是：

dbinom(1, 3, 0.05625)
# [1] 0.1502996

none的概率是：

dbinom(0, 3, 0.05625)
# [1] 0.8405642

不等概率 -- 一些简单的案例

如果您在向量 p 中存储了不等概率，并且每个项目都是独立选择的，则您需要做更多的工作，因为 dbinom 函数不适用。不过，有些计算还是很简单的。

项目被选中的概率none就是1减去概率的乘积（至少选中一个的概率就是1减去这个）：

p <- c(0.1, 0.2, 0.3)
prod(1-p)
# [1] 0.504

所有的概率是概率的乘积：

prod(p)
# [1] 0.006

最后，恰好一个被选中的概率是所有元素的概率乘以所有其他元素未被选中的概率的总和：

sum(p * (prod(1-p) / (1-p)))
# [1] 0.398

同样，恰好n-1被选中的概率（其中n为概率数）为：

sum((1-p) * (prod(p) / p))
# [1] 0.092

不等概率 -- 完整案例

如果您想要每一次可能的成功计数的概率，一个选项可能是计算所有 2^n 事件组合（这是 A. Webb 在他们的回答中所做的）。相反，下面是一个 O(n^2) 方案：

cp.quadratic <- function(p) {
  P <- matrix(0, nrow=length(p), ncol=length(p))
  P[1,] <- rev(cumsum(rev(p * prod(1-p) / (1-p))))
  for (i in seq(2, length(p))) {
    P[i,] <- c(rev(cumsum(rev(head(p, -1) / (1-head(p, -1)) * tail(P[i-1,], -1)))), 0)
  }
  c(prod(1-p), P[,1])
}
cp.quadratic(c(0.1, 0.2, 0.3))
# [1] 0.504 0.398 0.092 0.006

基本上，我们将 P_ij 定义为恰好有 i 次成功的概率，所有这些都处于 j 或更大的位置。 i=0 和 i=1 的基本情况计算起来相对简单，然后我们有以下递归：

P_ij = P_i(j+1) + p_j / (1-p_j) * P_(i-1)(j+1)

在函数cp.quadratic中，我们循环增加i，填充P矩阵（即n x n）。因此总操作数为 O(n^2).

例如，这使您能够在一秒钟内计算大量选项的分布：

system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 100, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#   0.005   0.000   0.006 
system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 1000, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#   0.165   0.043   0.208 
system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 10000, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#  12.721   3.161  16.567

我们可以在几分之一秒内从 1,000 个元素计算分布，在不到一分钟内从 10,000 个元素计算分布；计算 2^1000 或 2^10000 可能的结果将花费非常长的时间（子集的数量分别是 301 位和 3010 位数字）。

Answer 2

这是一个创建所有事件组合、计算它们的概率并按出现次数聚合的函数

cp <- function(p) 
{
  ev <- do.call(expand.grid,replicate(length(p),0:1,simplify=FALSE))
  pe <- apply(ev,1,function(x) prod(p*(x==1)+(1-p)*(x==0)))
  tapply(pe,rowSums(ev),sum)
}

示例与相同，使用独立于 0.1、0.2 和 0.3 的事件发生概率：

cp(c(0.1,0.2,0.3))

    0     1     2     3 
0.504 0.398 0.092 0.006

所以，例如恰好两个独立事件发生的概率是 0.092.

三个或更多集合并集的概率

Probability of the Union of Three or More Sets

r

probability

set-intersection

set-union

等概率

不等概率 -- 一些简单的案例

不等概率 -- 完整案例