在 C++ 中使用 floor 函数的舍入误差

Question

有人问我以下代码的输出是什么：

floor((0.7+0.6)*10);

它returns 12.

我知道浮点表示法不允许以无限精度表示所有数字，我应该预料到会有一些差异。

我的问题是：

我怎么知道这段代码returns是12，不是13？为什么 (0.7+0.6)*10 比 13 少，而不是多？
floor 功能什么时候可以正常工作，什么时候可以正常工作？

注意：我不是在问浮动表示形式如何或为什么输出不完全是 13。我想知道我应该如何推断 (0.7+0.6)*10 有点少于少于 13.

Answer 1

How should I know that this piece of code returns 12, not 13?

因为这取决于所涉及的数字，通过尝试。

Why is (0.7+0.6)*10 a bit less than 13, not a bit more?

嗯，因为这是计算的结果。

When can I expect the floor function to work incorrectly and when it works correctly for sure?

肯定正确：仅在 2 的幂的倍数上，当且仅当您的浮点数用二进制表示。

要真正消除所有的困惑：

不计算就不知道结果;这取决于所涉及的 machine/algorithmics 和数量。

Answer 2

非常简短的回答：你不能。这取决于平台和在该平台上使用的 float iso。

Answer 3

像 IEEE floating point standard 这样的标准试图使浮点计算至少有一点预测性通过定义规则应该如何实现加法和舍入等操作。要知道结果，您需要计算表达式根据标准规则。那么你可以确定，它在每台执行标准的机器上给出相同的结果。

Answer 4

How should I know that this piece of code returns 12, not 13?

你应该知道它可以并且可能是 12 或 13。你可以通过测试给定的 cpu.

一般情况下，您无法知道该值是多少，因为 C++ 标准没有指定浮点数的表示形式。如果您知道给定架构的格式（比方说 IEEE 754），那么您可以手动执行计算，但该结果将仅适用于该特定表示。

Why is (0.7+0.6)*10 a bit less than 13, not a bit more?

这是一个实现细节，对程序员来说不是有用的知识。您只需要知道它可能是任何一个。依靠它是其中之一的知识，会让你依赖于实现细节。

When can I expect the floor function to work incorrectly and when it works correctly for sure?

它始终正常工作，这取决于指定的工作方式。

现在，谈谈您期望看到的价值。如果您知道您的数字非常接近整数，但由于表示错误可能会偏离一点点，您可以在 flooring 之前添加 0.5。

double calculated_integer = (0.7+0.6)*10;
floor(calculated_integer + 0.5);

这样一来，你总是会得到预期的值，除非误差超过0.5，这将是一个很大的误差。

如果您不知道结果应该是一个整数，那么您只需接受 floor 和 ceil 操作将计算的最大误差增加到 1.0.

Answer 5

一般来说，你不能。根本问题在于，从文本表示到浮点值的转换通常没有尽可能准确地实现。这部分是动力，部分是因为获得最接近文本中表达的值的浮点值可能很昂贵，在某些情况下需要大整数计算。因此，转换通常与理想值相差几个 ULP（即低端位），您无法预测先验。因此，该代码将产生什么的问题是无法回答的。应该产生什么的问题可能更容易处理，但它仍然是一个浪费时间的练习。

Answer 6

How should I know that this piece of code returns 12, not 13? Why is (0.7+0.6)*10 a bit less than 13, not a bit more?

假设您的编译平台严格使用 IEEE 754 标准格式和操作。然后，将所有涉及的常数转换为二进制，保留 53 位有效数字，并应用 IEEE 754 中定义的基本运算，通过计算数学结果并在每一步舍入到 53 位有效二进制数字。任何阶段都不需要计算机参与，但使用 C99 的十六进制浮点格式输入和输出可以让您的生活更轻松。

When can I expect the floor function to work incorrectly and when it works correctly for sure?

floor() 对所有正参数都是精确的。它在您的示例中正常工作。让您感到惊讶的行为并非源于 floor，也与 floor 无关。令人惊讶的行为始于 6/10 和 7/10 不能完全表示为二进制浮点值这一事实，并继续由于这些值具有长扩展、浮点运算 + 和 * 可以产生一个稍微四舍五入的结果 wrt 你可以从它们实际应用的参数中期望的数学结果。 floor() 是您的代码中唯一不涉及近似值的地方。

查看发生了什么的示例程序：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
  printf("%a\n%a\n%a\n%a\n%a\n",
         0.7,
         0.6,
         0.7 + 0.6,
         (0.7+0.6)*10,
         floor((0.7+0.6)*10));
}

结果：

0x1.6666666666666p-1
0x1.3333333333333p-1
0x1.4ccccccccccccp+0
0x1.9ffffffffffffp+3
0x1.8p+3

IEEE 754双精度实际上是针对二进制定义的，但为了简洁起见，有效数字以十六进制表示。 p 之后的指数表示 2 的幂。例如，最后两个结果都是 *2³.

0x1.8p+3 是 12。下一个整数 13 是 0x1.ap+3，但计算并未完全达到该值，因此 floor() 的行为是向下舍入到 12.

在 C++ 中使用 floor 函数的舍入误差

Rounding error using the floor function in C++

c++

floating-point

precision

rounding