python curve_fit 不适用于刚性模型

Question

我正在尝试找到尽可能适合绿色曲线上的蓝色模型的x0参数（x0控制垛口的宽度；见下文）。

这是我的尝试：

from pylab import *
from scipy.optimize import curve_fit

x=linspace(0,2*pi,1000)    
def crenel(x):return sign(sin(x))
def inverter(x,x0): return (crenel(x-x0)+crenel(x+x0))/2

p,e = curve_fit(inverter,x,sin(x),1)    
plot(x,inverter(x,*p),x,sin(x))
ylim(-1.5,1.5)

手算，最优值为 x0 = arcsin(1/2) # 0.523598，但 curve_fit 未估计任何值 ("OptimizeWarning: Covariance of the parameters could not be estimated")。我怀疑模型的刚度。 docs 告知：

The algorithm uses the Levenberg-Marquardt algorithm through leastsq. Additional keyword arguments are passed directly to that algorithm.

所以我的问题是：在这种情况下，是否有关键字参数可以帮助 curve_fit 估计参数？或另一种方法？

感谢您的任何建议。

Answer 1

问题是 curve_fit 试图最小化的 objective 函数不连续。 x0 控制 inverter 函数中不连续点的位置。当不连续点穿过 x 中的一个网格点时，objective 函数中会发生跳跃。在这些点之间，objective 函数是常量。 curve_fit（其实是leastsq，curve_fit使用的函数）并不是为了处理这样的函数而设计的

以下函数 sse 是（实际上）curve_fit 试图最小化的函数，x 与示例中定义的 x 相同，并且y = sin(x):

def sse(x0, x, y):
    f = inverter(x, x0)
    diff = y - f
    s = (diff**2).sum()
    return s

如果您使用

等代码将此函数绘制在精细网格上

xx = np.linspace(0, 1, 10000)
yy = [sse(x0, x, y) for x0 in xx]
plot(xx, yy)

然后放大，你会看到

要使用 scipy 找到最佳值，您可以使用 fmin 和平滑的 objective 函数。例如，这里是连续 objective 函数，仅使用区间 [0, pi/2]（quad 是 scipy.integrate.quad）：

def func(x0):
    s0, e0 = quad(lambda x: np.sin(x)**2, 0, x0)
    s1, e0 = quad(lambda x: (1 - np.sin(x))**2, x0, 0.5*np.pi)
    return s0 + s1

scipy.optimize.fmin 可用于查找该函数的最小值，如 ipython 会话中的此片段所示：

In [202]: fmin(func, 0.3, xtol=1e-8)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.100545
         Iterations: 28
         Function evaluations: 56
Out[202]: array([ 0.52359878])

In [203]: np.arcsin(0.5)
Out[203]: 0.52359877559829882

python curve_fit 不适用于刚性模型

python curve_fit doesn't work with stiff model

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