fftw3 for poisson with dirichlet boundary condition for all side of computational domain

Question

我正在尝试用 Dirichlet 边界条件为计算域的四个边求解 Poison 方程。众所周知，我应该使用 FFTW_RODFT00 来满足条件。但是，结果不是correct.Could请大家帮帮我？

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
#include <fftw3.h>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
int main() {

int N1=100;
int N2=100;

double pi = 3.141592653589793;
double L1  = 2.0;
double dx = L1/(double)(N1-1);
double L2= 2.0;
double dy=L2/(double)(N2-1);

double invL1s=1.0/(L1*L1);
double invL2s=1.0/(L2*L2);

std::vector<double> in1(N1*N2,0.0);
std::vector<double> in2(N1*N2,0.0);
std::vector<double> out1(N1*N2,0.0);
std::vector<double> out2(N1*N2,0.0);
std::vector<double> X(N1,0.0);
std::vector<double> Y(N2,0.0);


fftw_plan p, q;
int i,j;
p = fftw_plan_r2r_2d(N1,N2, in1.data(), out1.data(), FFTW_RODFT00, FFTW_RODFT00, FFTW_EXHAUSTIVE);
q = fftw_plan_r2r_2d(N1,N2, in2.data(), out2.data(), FFTW_RODFT00, FFTW_RODFT00, FFTW_EXHAUSTIVE);

int l=-1;
for(i = 0;i <N1;i++){
    X[i] =-1.0+(double)i*dx ;           
    for(j = 0;j<N2;j++){
        l=l+1;
        Y[j] =-1.0+ (double)j*dy ;
        in1[l]= sin(pi*X[i]) + sin(pi*Y[j]) ; // row major ordering
    }
}

fftw_execute(p);

l=-1;
for ( i = 0; i < N1; i++){   // f = g / ( kx² + ky² )  
    for( j = 0; j < N2; j++){
            l=l+1;
        double fact=0;
        in2[l]=0;

        if(2*i<N1){
            fact=((double)i*i)*invL1s;;
        }else{
            fact=((double)(N1-i)*(N1-i))*invL1s;
        }
        if(2*j<N2){
            fact+=((double)j*j)*invL2s;
        }else{
            fact+=((double)(N2-j)*(N2-j))*invL2s;
        }
        if(fact!=0){
            in2[l] = out1[l]/fact;
        }else{
            in2[l] = 0.0;
        }
    }
}

fftw_execute(q);
l=-1;
double erl1 = 0.;
for ( i = 0; i < N1; i++) {
    for( j = 0; j < N2; j++){
        l=l+1;

        erl1 +=1.0/pi/pi*fabs( in1[l]-  0.25*out2[l]/((double)(N1-1))/((double)(N2-1))); 
        printf("%3d %10.5f %10.5f\n", l, in1[l],  0.25*out2[l]/((double)(N1-1))/((double)(N2-1)));

    }
}

cout<<"error=" <<erl1 <<endl ;  
fftw_destroy_plan(p); fftw_destroy_plan(q); fftw_cleanup();

return 0;

}

Answer 1

我认出了我在 and the code I provided in my answer to Confusion testing fftw3 - poisson equation 2d test中提供给你的一个技巧，它是根据提问者@Charles_P的代码改编的！请考虑在以后的问题中添加指向这些 url 的链接！

Confusion testing fftw3 - poisson equation 2d test的答案专门针对周期性边界条件的情况。所以这里有一些修改来解决Dirichlet边界条件的情况。

fftw_plan_r2r_2d(N1,N2, in1.data(), out1.data(), FFTW_RODFT00, FFTW_RODFT00,FFTW_EXHAUSTIVE)对应于I型离散正弦变换as defined by the FFTW library:

$Y_k=2\sum_{j=0}^{n-1}X_j.\sin\left(\pi(j+1)\frac{k+1}{n+1}\right)$

它的意思在https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_sine_transform中有很好的描述。如果 FFTW 数组的大小为 N1=4 且其值为 [a,b,c,d]，则包含边界的完整数组为 [0,a,b,c,d,0]。因此空间步长是：

$dx=\frac{L_1}{N_1+1}$

第I类夏令时的频率f_k为：

$\xi_k=\pi(k+1)\frac1{L_1}$

I型DST的倒数就是I型DST，除了比例因子（见http://www.fftw.org/doc/1d-Real_002dodd-DFTs-_0028DSTs_0029.html#g_t1d-Real_002dodd-DFTs-_0028DSTs_0029），这里4.(N1+1).(N2+1).

最后，测试用例必须适应狄利克雷边界条件的情况。实际上，在大小为 L1,L2 的框上，函数 $f(x,y)=\sin(\pi\frac{x}{L_1})+\sin(\pi\frac{y}{L_2})$ 不遵守 Diriclet 边界条件。实际上，即使源项相同，满足周期性边界条件的解也可能与满足 Dirichelt 边界条件的解不同。相反，可以测试两个源术语：

源词 $f(x,y)=\sin(\pi\frac{x}{L_1}).\sin(\pi\frac{y}{L_2})$ 对应夏令时的单一频率。
源项 $f(x,y)=2x(L_1-x)+2y(L_2-y)$ 直接推导出解 $f(x,y)=x(L_1-x)y(L_2-y)$

最后，这是一个使用 FFTW 库的 I 类 DST 求解 2D 泊松方程的代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
#include <fftw3.h>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
int main() {

    int N1=100;
    int N2=200;

    double pi = 3.141592653589793;
    double L1  = 1.0;
    double dx = L1/(double)(N1+1);//+ instead of -1
    double L2= 5.0;
    double dy=L2/(double)(N2+1);

    double invL1s=1.0/(L1*L1);
    double invL2s=1.0/(L2*L2);

    std::vector<double> in1(N1*N2,0.0);
    std::vector<double> in2(N1*N2,0.0);
    std::vector<double> out1(N1*N2,0.0);
    std::vector<double> out2(N1*N2,0.0);
    std::vector<double> X(N1,0.0);
    std::vector<double> Y(N2,0.0);


    fftw_plan p, q;
    int i,j;
    p = fftw_plan_r2r_2d(N1,N2, in1.data(), out1.data(), FFTW_RODFT00, FFTW_RODFT00, FFTW_EXHAUSTIVE);
    q = fftw_plan_r2r_2d(N1,N2, in2.data(), out2.data(), FFTW_RODFT00, FFTW_RODFT00, FFTW_EXHAUSTIVE);

    int l=0;

    for(i = 0;i <N1;i++){
        for(j = 0;j<N2;j++){
            X[i] =dx+(double)i*dx ;      
            Y[j] =dy+ (double)j*dy ;
            //in1[l]= sin(pi*X[i])*sin(pi*Y[j]) ; // row major ordering
            in1[l]=2*Y[j]*(L2-Y[j])+2*X[i]*(L1-X[i]);
            l=l+1;
        }
    }

    fftw_execute(p);

    l=-1;
    for ( i = 0; i < N1; i++){   // f = g / ( kx² + ky² )  
        for( j = 0; j < N2; j++){

            l=l+1;
            double fact=0;

            fact=pi*pi*((double)(i+1)*(i+1))*invL1s;

            fact+=pi*pi*((double)(j+1)*(j+1))*invL2s;

            in2[l] = out1[l]/fact;

        }
    }

    fftw_execute(q);
    l=-1;
    double erl1 = 0.;
    for ( i = 0; i < N1; i++) {
        for( j = 0; j < N2; j++){
            l=l+1;
            X[i] =dx+(double)i*dx ;      
            Y[j] =dy+ (double)j*dy ;
            //double res=0.5/pi/pi*in1[l];
            double res=X[i]*(L1-X[i])*Y[j]*(L2-Y[j]);
            erl1 +=pow(fabs(res-  0.25*out2[l]/((double)(N1+1))/((double)(N2+1))),2); 
            printf("%3d %10.5g %10.5g\n", l, res,  0.25*out2[l]/((double)(N1+1))/((double)(N2+1)));

        }
    }
    erl1=erl1/((double)N1*N2);
    cout<<"error=" <<sqrt(erl1) <<endl ;  
    fftw_destroy_plan(p); fftw_destroy_plan(q); fftw_cleanup();

    return 0;
}

由g++ main.cpp -o main -lfftw3 -Wall.

编译

编辑：如何计算对每个频率的响应？

FFT-based的思想是将解表示为函数的线性组合：

在周期性边界条件的情况下，使用FFT。基本函数是：

$f_k(x)=e^{\sqrt{-1}\frac{2\pi k}{L_1}x} \hspace{0.5cm}\textrm{if}\hspace{0.5cm} 2k<n$

$f_k(x)=e^{-\sqrt{-1}\frac{2\pi (n-k)}{L_1}x} \hspace{0.5cm}\textrm{if}\hspace{0.5cm} 2k>n$

在 Dirichlet 边界条件的情况下，使用 type-I DST。在 x=0 和 x=L1 处为 0 的基函数是：

$f_k(x)=\sin\left(\frac{\pi (k+1)}{L_1}x\right)$
在诺伊曼边界条件的情况下，使用type-I DCT。基本函数是：

$f_k(x)=\cos\left(\frac{\pi k}{L_1}x\right)$

它们的导数在 x=0 和 x=L1 处为空。

让我们计算 type-I DST 的分量 f_k 的二阶导数：

$\frac{d^2f_k}{dx^2}(x)=-\pi^2\frac{(k+1)^2}{L_1^2}sin\left(\pi \frac{k+1}{L_1}x\right)$

因此，解的 DST 的分量 k 对应于源项的 DST 的分量 k，按因子

缩放

$\frac{L_1^2}{\pi^2(k+1)^2}$

fftw3 for poisson with dirichlet boundary condition for all side of computational domain

fftw3 for poisson with dirichlet boundary condition for all side of computational domain

c++

fftw

poisson

dirichlet