在没有数学库的情况下逼近 atan

Question

我一直在谷歌上搜索这个问题的解决方案。我见过多种计算任何 -1 <= theta <= 1 的 atan(theta) 的方法，但我不确定当 theta 大于或小于这些界限时该怎么做。

我假设我需要加上或减去圆周率的倍数来抵消它？这个思路对吗？

目前我有：

double my_atan(double x)
{
    return x - (x*x*x)/3 + (x*x*x*x*x)/5;
}

正在使用 taylor series。

对于下面的代码，

int x;
for (x=0; x<M_PI*2; x++)
{
    printf("Actual: %f\n",    atan(x));
    printf("Approx: %f\n", my_atan(x));
    printf("\n");
}

它很快失去控制（正如预期的那样，因为它超出了范围）：

Actual: 0.000000
Approx: 0.000000

Actual: 0.785398
Approx: 0.866667

Actual: 1.107149
Approx: 5.733333

Actual: 1.249046
Approx: 42.600000

Actual: 1.325818
Approx: 187.466667

Actual: 1.373401
Approx: 588.333333

Actual: 1.405648
Approx: 1489.200000

此处未显示，但当 theta 在适当范围内时，输出相当准确。

所以我的问题是 my_tan 函数究竟需要采取哪些步骤才能支持更宽的范围？

已经关注了一段时间，所以如果能提供任何指导，我们将不胜感激

Answer 1

让我完成您的示例并讨论一些可能有帮助的事情：

#include <stdio.h>
#include <math.h>


double my_atan(double x)
{
    return x - (x*x*x)/3 + (x*x*x*x*x)/5 - (x*x*x*x*x*x*x)/7;
}

int main()
{
    double x;
    for (x=0.0; x<M_PI*2; x+=0.1)
    {
        printf("x: %f\n",    x);
        printf("Actual: %f\n",    atan(x));
        printf("Approx: %f\n", my_atan(x));
        printf("\n");
    }
}

项 int x 是一个整数，您正在逼近大角度。尝试在这里使用双打你不会得到转换错误。

现在解决你的问题。您使用的泰勒级数仅在您的 |x| 时有效< 1.

泰勒级数越远离给定点或在您的情况下为零 (0+x)。

该系列在 pi/4 之前工作良好，即使在那个时候它也非常不准确，但更大的值会变得非常糟糕。所以对于较小的角度，它工作得很好。

Answer 2

我用于定点库的解决方案是使用 Remez algorithm 的极小极大近似。即使在那里，我也对三个范围使用了一组不同的系数：0 到 0.5； 0.5 到 0.75，以及 0.75 到 1。通过这种细分，我能够获得 1 ULP 精度。

然后你需要很好的参数缩减来获得范围内的参数。在我的例子中，我对大于 1 的参数使用了一个很好的倒数函数。以下是恒等式：

atan(-x) == -atan(x)

atan(x) == pi/2 - atan(1/x) // for x > 1

有一个 nice blog post on Taylor vs. Remez approximations here; at that site is also a Remez toolkit 用于查找您需要的系数。

在没有数学库的情况下逼近 atan

Approximating atan without a math library

c

pi

trigonometry

math.h