高斯-牛顿求解器：矩形空矩阵分配不当

Question

我不明白为什么会收到此错误消息。我已经实现了高斯-牛顿求解器来求解线性方程组。

一直说"for i=1:m"

行的矩形空矩阵赋值不正确

function [x, l] = GS(A, b, x0, TOL)
[m n] = size(A);
l = 1;
x = [0;0;0];
while (true)
    for i=1:m
        sum1 = 0; sum2 = 0;
    for j=1:i-1
        sum1 = sum1 + A(i,j)*x(j);
        for j=i+1:n
            sum2 = sum2 + A(i,j)*x(j);
        end
    end 
    x(i) = (-sum1-sum2+b(i))./A(i,j);    
end
if abs(norm(x) - norm(x0)) < TOL   
    break
end
x0 = x;
l = l + 1;
end

Answer 1

您的代码存在三处错误。

您的 for 循环语句未对齐。具体来说，您忘记在 i 循环（即 for j = 1 : i-1）

for

end

您需要使用从 j = 1, 2 到 i-1 的当前解计算高斯-牛顿值。第一个for循环需要使用x，第二个for循环从j = i+1到n需要使用x0.
求解x的每个值时，需要除以正确的对角线系数。

因此：

function [x, l] = GS(A, b, x0, TOL)
[m n] = size(A);
l = 1;
x = [0;0;0];
while (true)
    for i=1:m
        sum1 = 0; sum2 = 0;
        for j=1:i-1 %// CHANGE
            sum1 = sum1 + A(i,j)*x(j); %// CHANGE
        end
        for j=i+1:n %// CHANGE
            sum2 = sum2 + A(i,j)*x0(j);
        end
        x(i) = (-sum1-sum2+b(i))./A(i,i); %// CHANGE   
    end

    if abs(norm(x) - norm(x0)) < TOL   
        break
    end
x0 = x;
l = l + 1;
end

使用示例：

format long;
A = [6 1 1; 1 5 3; 0 2 4]
b = [1 2 3].';
[x,i] = GS(A, b, [0;0;0], 1e-10)

x =

   0.048780487792648
  -0.085365853612062
   0.792682926806031


i =

    21

这意味着需要 21 次迭代才能获得具有公差 1e-10 的解决方案。将其与 MATLAB 的内置逆函数进行比较：

x2 = A \ b

x2 =

   0.048780487804878
  -0.085365853658537
   0.792682926829268

如您所见，我指定了 1e-10 的公差，这意味着我们保证有 10 位小数的准确性。我们当然可以看到 Gauss-Newton 给我们的和 MATLAB 给我们内置的之间有 10 位小数的精度。

高斯-牛顿求解器：矩形空矩阵分配不当

Gauss-Newton Solver: Improper assignment with rectangular empty matrix

matlab

matrix

numerical-analysis

使用示例：