Coq 中归纳集的归纳子集

Question

我有一个用三个构造函数构建的 Inductive Set：

Inductive MF : Set :=
| D : MF
| cn : MF -> MF -> MF
| dn : Z -> MF -> MF.

我想以某种方式定义一个新的归纳集 B，使得 B 是 MF 的子集，仅包含从 D 和 dn 获得的元素。此外，如果需要，B 中的所有内容都应解释为类型 MF。

我尝试先定义 B，然后定义 MF，如下所示：

Inductive B : Set :=
| D : B
| dn : Z -> B -> B.

Inductive MF : Set :=
| m : B -> MF
| cn : MF -> MF -> MF
| Dn : Z -> MF -> MF.
Axiom m_inj : forall (a b : B), m a = m b -> a = b.
Coercion m : B >-> MF.
Axiom dnDn : forall (a : B)(i : Z), (m (dn i a)) = (Dn i (m a)).

这里的问题是我必须构造函数（dn 和 Dn），它们应该可以与 B 中的元素互换。这给我在进一步开发中带来了很多问题，我必须不断添加公理以便获得预期的行为。

Answer 1

您可以将 B 定义为将 MF 元素与仅使用 D 和 dn 构建的证明一起打包的记录。为此，您需要首先定义一个谓词 isB : MF -> Prop，描述 MF 的元素，即 Bs.

Require Import ZArith.

Inductive MF : Set :=
  | D : MF
  | cn : MF -> MF -> MF
  | dn : Z -> MF -> MF.

Inductive isB : MF -> Prop :=
  | DIsOK  : isB D
  | dnIsOK : forall z mf, isB mf -> isB (dn z mf).

Record B := mkB
  { mf  : MF
  ; prf : isB mf
  }.

Coercion mf : B >-> MF.

Answer 2

请注意，您必须证明 isB mf 在您的设置中享有证明无关性，否则 Coq 不会知道投影 mf 是单射的。通常，您希望 MF 中的相等性暗示您的子类型 B.

中的相等性

我建议以下变体：

Require Import Bool ZArith Eqdep_dec.

Inductive MF : Set :=
  | D : MF
  | cn : MF -> MF -> MF
  | dn : Z -> MF -> MF.

Inductive isB : MF -> Prop :=
  | DIsOK  : isB D
  | dnIsOK : forall z mf, isB mf -> isB (dn z mf).

Fixpoint isBb (mf : MF) : bool :=
  match mf with
  | D       => true
  | dn _ mf => isBb mf
  | _       => false
  end.

Lemma mfP mf : reflect (isB mf) (isBb mf).
Proof.
apply iff_reflect; split.
+ elim mf; auto; simpl; intros mf1 ihmf1 mf2 ihmf2.
  - now intros hisB; inversion hisB.
  - now inversion ihmf2; rewrite mf2.
+ now elim mf; simpl; try repeat (auto||constructor||congruence).
Qed.

Record B := mkB
  { mf  : MF
  ; prf : isBb mf = true
  }.

Coercion mf : B >-> MF.

(* From http://cstheory.stackexchange.com/questions/5158/prove-proof-irrelevance-in-coq *)
Theorem bool_pirrel : forall (b : bool) (p1 p2 : b = true), p1 = p2.
Proof.
intros; apply Eqdep_dec.eq_proofs_unicity; intros.
now destruct (Bool.bool_dec x y); tauto.
Qed.

Lemma valB b1 b2 : mf b1 = mf b2 -> b1 = b2.
Proof.
destruct b1, b2; simpl; intros ->.
now rewrite (bool_pirrel (isBb mf1) prf0 prf1).
Qed.

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Coq 中归纳集的归纳子集

Inductive subset of an inductive set in Coq

coq