Matlab：微分方程 (ode45)：我可以反转 tspan 以获得更好的初始条件吗？

Question

我正在使用 ode45 到 solve/plot Matlab 中的二阶微分方程。我的 tspan 是从 0 到 0.25。但是接近零的初始条件是不明确的（斜率变为无穷大，复数值）。 0.25 附近的条件定义明确（斜率和值均为零）。

问题：

我可以反转tspan，并使用"final conditions"作为初始条件吗？
好吧，我知道我可以做到（见下面的代码），并且我得到了一个看起来像我期望的情节，但这通常是一件有效的事情吗？在这种情况下我很幸运吗？
ode45 提供数值解，并不精确。是不是我反转后tspan会出现更大的错误？

这是我的代码，应该运行独立：

function ReverseTspan()
% solve diff-eq backward from tspan end to tspan start using ode45()
%  - Good initial conditions at the end, but not start.
%  - Is this a valid thing to do?

% clean slate
clc; clear all; close all;

% tspan - reversed!
R = 0.25:-0.001:0;

% initial values
hinits=[0.0000001;0]; 

% solve
[R,v] = ode45(@equ7,R,hinits);

% strip imaginary values (can't plot 'em)
v(find(real(v)~=v)) = NaN;

% plot first column 
plot(R,v(:,1)); 


function vprime = equ7(R,v);
% Solve second order non-linear differential equation 7:
%   v''(R) + 2/R*v'(R) = K_plus/(R^2)*( v^(-1/2) - lamda_plus*(1-v)^(-1/2)
%
% Matlab ode45 only likes first derivatives, so let:  
%    v_1(R) = v(R)
%    v_2(R) = v'(R)
%
% And create a system of first order diff eqs:
%    v_1'(R) = v_2(R)
%    v_2'(R) = -2/R*v_2(R) + K_plus/(R^2)*( v_1(R)^(-1/2) - lamda_plus*(1-v_1(R))^(-1/2)
%
% Constant Parameters:
K_plus = 0.0859;
lambda_plus = 3.7;

% Build result in pieces for easier debugging of problematic terms
int1 = 1 - v(1);
int2 = int1^(-1/2);
int3 = v(1)^(-1/2);
int4 = K_plus/(R^2);
vprime2 = -2/R*v(2);
vprime2 = vprime2 + int4*( int3 - lambda_plus*(int2) );
vprime=[v(2); vprime2 ];

Answer 1

在数值上，您永远无法从（或到达）R=0 开始使用该 ODE。 NaN 将在初始条件后的第一步返回，从而破坏任何未来的结果。重新缩放系统以消除奇点可能是可能的，但这是一个数学问题。您也可以尝试在略大于零的时间开始积分，前提是您指定有效的初始条件（满足您的 ODE）。

Can I reverse tspan, and use the "final conditions" as initial conditions?

是的。这是一个标准程序。特别是，它经常用于寻找不稳定的流形和不稳定的平衡。

Well, I know I can do it (see code below), and I get a plot that looks like what I expect, but is this a valid thing to do in general? Am I getting lucky in this one case?

很难对所有可能的系统进行概括。在某些情况下，由于稳定性或数值错误的原因，这可能不起作用。

ode45 provides numerical solutions and is not exact. Am I likely to have larger error after reversing tspan?

我不明白为什么它一定会更大，但这同样取决于所使用的系统和求解器。尝试使用其他求解器（例如 ode15s or ode113) and/or varying the absolute and relative tolerances via odeset.

Matlab：微分方程 (ode45)：我可以反转 tspan 以获得更好的初始条件吗？

Matlab: Differential equation (ode45): Can I reverse tspan for better initial conditions?

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