加快矩阵计算

Question

我正在研究线性模型预测控制，我需要为控制器计算一些矩阵，只是..计算其中一个需要很多时间，我想问一下是否有更好的方法对这个计算进行编码。我正在使用 MATLAB，但我也理解 FORTRAN。
好吧，我想计算一个矩阵 (Φ)，但是我这样做需要花费很多时间来计算它。 Φ 矩阵的形式（右边的）： MPC_matrices.
Here 是我找到这张图片的书，以备不时之需（尤其是第 8 页）。
现在，我在 MATLAB 中编写的代码如下所示：（在 EDIT 之后移动）
考虑到我将有相当大的 NS、Np 和 Nc 变量，进行此计算将花费大量时间。有没有优化的方法（或者至少比我的方法更好）来加速这个计算？

编辑
在考虑了@Daniel 和 user2682877 的评论后，我测试了这个

clear;clc
Np = 80;
Nc = Np / 2;
m  = 3;
q  = 1;
Niter = 30;
MAT = zeros(Niter,5);
for I=1:Niter
    NS = 10 * I;
    A = rand(NS,NS);
    B = rand(NS,m);
    C = rand(1,NS);
    tic
    Phi1 = zeros(Np*q,Nc*m);
    CB = C * B;
    for i=1:Np
        for j=1:Nc
            if j<i
                Phi1( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) = C * A^(i-1-(j-1)) * B;
            elseif j==i
                Phi1( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) = CB;
            end
        end
    end
    t1 = toc;

%大牛的建议

    tic
    Phi2=zeros(Np*q,Nc*m);
    CB = C * B;
    for diffij=0:Np-1
        if diffij>0
            F=C * A^diffij * B;
        else
            F=CB;
        end
        for i=max(1,diffij+1):min(Np,Nc+diffij)
            j=i-diffij;
            Phi2( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) = F;
        end
    end
    t2 = toc;

% user2682877 建议

    tic
    Phi3=zeros(Np*q,Nc*m);
    temp = B;
    % 1st column
    Phi3( (q*1-(q-1)):(q*1) , (m*1-(m-1)):(m*1) ) = C * B;
    for i=2:Np
        % reusing temp
        temp = A * temp;
        Phi3( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*1-(m-1)):(m*1) ) = C * temp;
    end
    % remaining columns
    for j=2:Nc
        for i=j:Nc
            Phi3( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) =...
                Phi3( (q*(i-j+1)-(q-1)):(q*(i-j+1)) , (m*1-(m-1)):(m*1) );
        end
    end
    t3 = toc;

    MAT(I,:) = [I, NS, t1, t2 ,t3];
    fprintf('I iteration = %g \n', I);
end
figure(1)
clf(1)
hold on
plot(MAT(:,2),MAT(:,3),'b')
plot(MAT(:,2),MAT(:,4),'r')
plot(MAT(:,2),MAT(:,5),'g')
hold off
legend('My <Unfortunate> Idea','Daniel`s suggestion','user2682877 suggestion')
xlabel('NS variable')
ylabel('Time, s')

这是结果图：

请记住，现在 NS = 300，但是随着我升级我的模型（我打算在状态 space 中包含越来越多的方程和变量model）这个变量（主要是NS和Np）会越来越大。
@Daniel 的第二条评论，我知道我执行的计算比我应该做的要多，但是我缺乏经验限制了我升级这个的想法。
@durasm 的评论，我对parfor不是很熟悉，但是我会测试一下。
参考答案：我会尽快测试您的建议（...）并回复您。

结果很明显，我最初的想法只比这里建议的要差一点。谢谢你们！你帮了大忙！

Answer 1

您的计算结果有限C * A^(i-1-(j-1)) * B，这仅取决于 i 和 j 之间的差异。不重复计算了，我的方案是迭代这个差值和i，然后根据这两个变量计算j。

Phi=zeros(Np*q,Nc*m);
CB = C * B;
for diffij=0:Np-1
    if diffij>0
        F=C * A^diffij * B;
    else
        F=CB;
    end
    for i=max(1,diffij+1):min(Np,Nc+diffij)
        j=i-diffij;

        Phi( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) = F;

    end
end

性能比较：

Answer 2

也许你可以试试这个：

Phi=zeros(Np*q,Nc*m);
temp = B;
% 1st column
Phi( (q*1-(q-1)):(q*1) , (m*1-(m-1)):(m*1) ) = C * B;
for i=2:Np
    % reusing temp
    temp = A * temp;
    Phi( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*1-(m-1)):(m*1) ) = C * temp;
end
% remaining columns
for j=2:Nc
    for i=j:Np
        Phi( (q*i-(q-1)):(q*i) , (m*j-(m-1)):(m*j) ) = Phi( (q*(i-j+1)-(q-1)):(q*(i-j+1)) , (m*1-(m-1)):(m*1) );
    end
end

加快矩阵计算

Speed up matrix calculation

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