Eigen 库中的 Transform::linear() return 是什么？

Question

使用 Eigen C++ 库时，我无法理解 Transform::linear() 函数。根据文档，它 returns the linear part of the transformation。但是，这是什么意思？肯定所有的矩阵变换都是线性的吧？

此外，从其他地方看到的一些示例来看，它的值 returns 似乎是一个 Eigen::Matrix3d （或者可以隐式转换为 this）。对我来说，这表明它可能只返回转换的旋转部分，长度为 3（x、y 和 z）。但是，还有一个 Transform::rotation() 函数，根据文档 returns the rotation part of the transformation.

有人可以向我解释一下 Transform::linear() 实际上 returns 是什么吗？

Answer 1

class Transform 表示使用齐次微积分的仿射变换或射影变换。例如，仿射变换 A 由线性部分 L 和平移 t 组成，因此通过 A 变换点 p 等同于：

 p' = L * p + t

使用齐次向量：

 [p'] = [L t] * [p] = A * [p]
 [1 ]   [0 1]   [1]       [1]

与：

 A = [L t]
     [0 1]

所以线性部分对应于齐次矩阵表示的左上角。它对应于旋转、缩放和剪切的混合。

Answer 2

遇到同样的问题，补充一下：

正如@ggael 所解释的那样，Transform::linear() 直接 return 变换矩阵中的线性部分。

Transform::rotation() returns 线性部分中的旋转分量。但由于线性部分包含not only rotation but also reflection, shear and scaling，因此提取旋转并不直接，需要使用奇异值分解（SVD）进行计算。

在已知 仿射矩阵仅包含旋转和平移的常见情况下 然后 Transform::linear() 可用于有效访问旋转部分。

最后，如果将 Transform 的 Mode 模板参数设置为 Isometry，Eigen 将只假设旋转和平移，并优化逆变换的计算。最新版本的 Eigen 也会在这种情况下优化 Transform::rotation()，并直接 return 线性部分。但是请注意，没有等距仿射矩阵的紧凑版本，其中最后一行未存储并假定为 [0 ... 0 1].

Eigen 库中的 Transform::linear() return 是什么？

What does Transform::linear() return in the Eigen library?

matrix

linear-algebra

eigen