更有效的算法来计算 N-queens 中的攻击？

Question

我正在研究基于 DFS 的 N 皇后问题解决方案。

我将棋盘状态存储为一个 int[N] 数组，表示每列中皇后的垂直位置（例如，将皇后沿对角线向下放置 6x6 棋盘为 state = { 0, 1, 2, 3 , 4, 5 }), 其中-1代表"no queen in this column".

我当前计算给定状态配置中的女王攻击的算法的复杂度为 O(n^2)：

function count_attacks(state)

    attack_count = 0

    for each column index c1
      if state[c1] == -1 continue

      for each column index c2 further along than c1
        if state[c2] == -1 continue

        // Lined up horizontally?
        if state[c1] == state[c2] attack_count++    

        // Lined up diagonally?
        else if (c2 - c1) == abs(state[c2] - state[c1]) attack_count++   

       // No need to check lined up vertically as impossible with this state representation

    return attack_count;

O(N^2) 在求解 N=500+ 时会降低性能。

是否有可能比 O(N^2) 更好地计算攻击次数？

Answer 1

定义数组

rows, columns, left_diagonals, right_diagonals

分别计算第 i 行、第 1 列、左对角线（所有 x 和 y 中的皇后数 x-y=c c），右对角线（所有 x 和 y 这样 x+y=c 对于某些 c）。算法将是：

Intialize rows, columns, left_diagonals, right_diagonals with zero values
attacks = 0
for queen in queens
    attacks += rows[queen.row];
    attacks += columns[queen.column];
    attacks += left_diagonals[queen.left_diagonal];
    attacks += right_diagonals[queen.right_diagonal];
    rows[queen.row]++;
    columns[queen.column]++;
    left_diagonals[queen.left_diagonal]++;
    right_diagonals[queen.right_diagonal]++;

然而，为了解决 N 皇后问题，您不需要检查攻击次数。您只需要检查是否存在攻击。

此外，如果您正在寻找问题的单一解决方案，可以找到 very efficient algorithm。

更有效的算法来计算 N-queens 中的攻击？

More efficient algorithm to count attacks in N-queens?

algorithm

big-o

asymptotic-complexity

n-queens