如何计算CRC码的汉明距离
How to Calculate Hamming Distance of CRC code
我的研究生课程教授给了我们一个任务，计算他在幻灯片中演示的 CRC 方法的汉明距离
他向我们展示了 CRC 协议如何捕获所有单比特、双比特、奇数比特错误、突发错误 2 <= k <= n、n+1 的突发错误，其中余数为 0 和消息被错误地接受为 1/2^(n-1)，因为第一位和最后一位总是固定为 1，最后大于 n+1 的错误突发，余数为 0 的概率为 1/2^n
到目前为止，这是我对他的两部分问题的回答：
问题 5
a) 考虑带有 p、q 和附加 r 位的奇偶校验位协议。这个协议的汉明距离是多少？简要说明原因
我们知道 Hamm(code) >= x + 1。使用 p 的 q 和 r 的奇偶校验位协议为我们提供了 3 位错误检测能力。因此 x = 3。这意味着该协议的汉明距离 >= x + 1 = 3 + 1 = 4.
b) 假设我们有一个 CRC 协议，它满足我们在幻灯片中描述的所有理想属性。这个协议的汉明距离是多少？简要说明原因。
如上所述，代码的汉明距离为 x + 1，其中 x 是 x 位错误检测能力。如果我们的 CRC 协议满足我们在幻灯片中讨论的所有理想属性，即：
1）所有单比特错误
2）所有双位错误
3）全奇数位错误
4) k比特的错误突发，2 <= k <= n
如果我们使用这些因素，我们可以看到 CRC 协议满足所有错误突发，最多包括 2 <= k <= n 个突发。这意味着 Hamm(Code) >= x+1 = (n-2) + 1 = n-1.
c) 对于a)和b)，这些协议是否可以用于纠错，如果可以，它们可以纠正多少位？ （即，他们可以执行 x 位校正吗？如果可以，x 是什么？）解释你是如何达到这个值的。
对于一个)
因为我们知道所讨论的奇偶校验位协议可以检测所有 3 个或更少的位错误，所以 x = 3。我们还知道，为了执行 x 位校正：
Hamm(代码) >= 2x + 1 = 2(3) + 1 = 7,
。我不确定这是否正确
但是对于b）部分，我对CRC协议的纠错感到困惑。我对汉明修正的回答是 Hamm(code) >= 2x+1 <= 2(n-1)+1 = 2n - 2 + 1 = 2n - 1
我什至不确定这是否正确，或者我如何确定它可以纠正的位数。
实际上我最终发现了我大部分知识不足的地方，但仍然不确定我对 a) 和 b) 的回答是否正确。有人可以告诉我我是否在正确的轨道上吗？我不是在寻找 "this is the answer"。如果我是正确的，很高兴听到是的，但如果不是简单的指导，将非常非常感谢。
对于一个）
因为我们知道所讨论的奇偶校验位协议可以检测所有 3 个或更少的位错误，所以 x = 3 因为 Hamm(code) >= 4。我们还知道，为了执行 x 位校正：
Hamm(code) >= 2x + 1。因此我们只能检测单个比特错误，因为 2(1) + 1 = 3。任何更多都会大于 4。
对于 b)
我们知道 CRC 协议有 Hamm(code) >= n+2 where x = n+1。为了使 Hamm(code) >= 2x+1，x <= floor(n/2)。然后该协议可以使用纠错。
我的研究生课程教授给了我们一个任务，计算他在幻灯片中演示的 CRC 方法的汉明距离
他向我们展示了 CRC 协议如何捕获所有单比特、双比特、奇数比特错误、突发错误 2 <= k <= n、n+1 的突发错误，其中余数为 0 和消息被错误地接受为 1/2^(n-1)，因为第一位和最后一位总是固定为 1，最后大于 n+1 的错误突发，余数为 0 的概率为 1/2^n
到目前为止，这是我对他的两部分问题的回答：
问题 5
a) 考虑带有 p、q 和附加 r 位的奇偶校验位协议。这个协议的汉明距离是多少？简要说明原因
我们知道 Hamm(code) >= x + 1。使用 p 的 q 和 r 的奇偶校验位协议为我们提供了 3 位错误检测能力。因此 x = 3。这意味着该协议的汉明距离 >= x + 1 = 3 + 1 = 4.
b) 假设我们有一个 CRC 协议，它满足我们在幻灯片中描述的所有理想属性。这个协议的汉明距离是多少？简要说明原因。
如上所述，代码的汉明距离为 x + 1，其中 x 是 x 位错误检测能力。如果我们的 CRC 协议满足我们在幻灯片中讨论的所有理想属性，即： 1）所有单比特错误 2）所有双位错误 3）全奇数位错误 4) k比特的错误突发，2 <= k <= n
如果我们使用这些因素，我们可以看到 CRC 协议满足所有错误突发，最多包括 2 <= k <= n 个突发。这意味着 Hamm(Code) >= x+1 = (n-2) + 1 = n-1.
c) 对于a)和b)，这些协议是否可以用于纠错，如果可以，它们可以纠正多少位？ （即，他们可以执行 x 位校正吗？如果可以，x 是什么？）解释你是如何达到这个值的。
对于一个) 因为我们知道所讨论的奇偶校验位协议可以检测所有 3 个或更少的位错误，所以 x = 3。我们还知道，为了执行 x 位校正： Hamm(代码) >= 2x + 1 = 2(3) + 1 = 7,
。我不确定这是否正确
但是对于b）部分，我对CRC协议的纠错感到困惑。我对汉明修正的回答是 Hamm(code) >= 2x+1 <= 2(n-1)+1 = 2n - 2 + 1 = 2n - 1 我什至不确定这是否正确，或者我如何确定它可以纠正的位数。
实际上我最终发现了我大部分知识不足的地方，但仍然不确定我对 a) 和 b) 的回答是否正确。有人可以告诉我我是否在正确的轨道上吗？我不是在寻找 "this is the answer"。如果我是正确的，很高兴听到是的，但如果不是简单的指导，将非常非常感谢。
对于一个） 因为我们知道所讨论的奇偶校验位协议可以检测所有 3 个或更少的位错误，所以 x = 3 因为 Hamm(code) >= 4。我们还知道，为了执行 x 位校正： Hamm(code) >= 2x + 1。因此我们只能检测单个比特错误，因为 2(1) + 1 = 3。任何更多都会大于 4。
对于 b) 我们知道 CRC 协议有 Hamm(code) >= n+2 where x = n+1。为了使 Hamm(code) >= 2x+1，x <= floor(n/2)。然后该协议可以使用纠错。