对称正半定矩阵的 Mv 正态误差

Question

我的问题总结是我正在尝试复制 Matlab 函数：

mvnrnd(mu', sigma, 200)

进入 Julia 使用：

rand( MvNormal(mu, sigma), 200)'

结果是一个 200 x 7 矩阵，本质上生成 200 个随机 return 时间序列数据。

Matlab 可以，Julia 不行。

我的输入矩阵是：

mu = [0.15; 0.03; 0.06; 0.04; 0.1; 0.02; 0.12]

sigma = [0.0035   -0.0038   0.0020    0.0017    -0.0006   -0.0028  0.0009;
    -0.0038    0.0046   -0.0011    0.0001    0.0003    0.0054   -0.0024;
    0.0020   -0.0011    0.0041    0.0068   -0.0004    0.0047   -0.0036;
    0.0017    0.0001    0.0068    0.0125    0.0002    0.0109   -0.0078;
    -0.0006    0.0003   -0.0004    0.0002    0.0025   -0.0004   -0.0007;
    -0.0028    0.0054    0.0047    0.0109   -0.0004    0.0159   -0.0093;
    0.0009   -0.0024   -0.0036   -0.0078   -0.0007   -0.0093    0.0061]

使用 Distributions.jl、运行行：

MvNormal(sigma)

产生错误：

ERROR: LoadError: Base.LinAlg.PosDefException(4)

矩阵sigma是对称的但只是半正定的：

issym(sigma) #symmetrical
> true
isposdef(sigma) #positive definite
> false

using LinearOperators
check_positive_definite(sigma) #check for positive (semi-)definite
> true

Matlab 为这些测试生成相同的结果，但是 Matlab 能够生成 200x7 随机 return 样本矩阵。

有人可以建议我如何才能让它在 Julia 中正常工作吗？或者问题出在哪里？

谢谢。

Answer 1

问题是协方差矩阵是不确定的。参见

julia> eigvals(sigma)
7-element Array{Float64,1}:
 -3.52259e-5
 -2.42008e-5
  2.35508e-7
  7.08269e-5
  0.00290538
  0.0118957 
  0.0343873

所以它不是协方差矩阵。这可能是由于四舍五入而发生的，所以如果您可以访问未四舍五入的数据，您可以尝试这样做。我刚刚尝试过，但我在 Matlab 中也遇到了错误。然而，与 Julia 不同的是，Matlab 确实允许矩阵为正 semidefinite.

完成这项工作的一种方法是将对角矩阵添加到原始矩阵，然后将其输入到 MvNormal。即

julia> MvNormal(randn(7), sigma - minimum(eigvals(Symmetric(sigma)))*I)
Distributions.MvNormal{PDMats.PDMat{Float64,Array{Float64,2}},Array{Float64,1}}(
dim: 7
μ: [0.889004,-0.768551,1.78569,0.130445,0.589029,0.529418,-0.258474]
Σ: 7x7 Array{Float64,2}:
  0.00353523  -0.0038       0.002        0.0017     -0.0006      -0.0028      0.0009    
 -0.0038       0.00463523  -0.0011       0.0001      0.0003       0.0054     -0.0024    
  0.002       -0.0011       0.00413523   0.0068     -0.0004       0.0047     -0.0036    
  0.0017       0.0001       0.0068       0.0125352   0.0002       0.0109     -0.0078    
 -0.0006       0.0003      -0.0004       0.0002      0.00253523  -0.0004     -0.0007    
 -0.0028       0.0054       0.0047       0.0109     -0.0004       0.0159352  -0.0093    
  0.0009      -0.0024      -0.0036      -0.0078     -0.0007      -0.0093      0.00613523
)

"covariance"矩阵当然不一样了，但是非常接近

对称正半定矩阵的 Mv 正态误差

MvNormal Error with Symmetric & Positive Semi-Definite Matrix

matlab

linear-algebra

julia

matrix-decomposition