Matlab：如何将矩阵转换为 Toeplitz 矩阵

Question

考虑离散动力系统，其中 x[0]=rand() 表示系统的初始条件。

我通过以下步骤生成了一个 m x n 矩阵——生成 m 个具有 m 个不同初始条件的向量，每个向量的维度为 N（N 表示样本数或元素）。该矩阵称为 R。如何使用 R 创建 Toeplitz 矩阵 T？吨数学上，

 R =               [ x_0[0], ....,x_0[n-1];
                    ...,        ,.....;
                    x_m[0],.....,x_m[n-1]]

托普利茨矩阵 T =

                        x[n-1], x[n-2],....,x[0];
                        x[0], x[n-1],....,x[1];
                          :    :           :
                         x[m-2],x[m-3]....,x[m-1]

我尝试使用 toeplitz(R) 但维度发生了变化。从数学上看，尺寸应该没有变化。

Answer 1

根据提供的论文（用于压缩传感的 Toeplitz 结构化混沌传感矩阵，作者 Yu 等人）涉及两个混沌传感矩阵。让我们分别探讨一下。

混沌感知矩阵（第A节）

明确指出，要创建这样的矩阵，您必须构建 m 个具有 m 不同初始条件（在范围 ]0;1[ 内）的独立信号（序列），然后将此类连接起来每行的信号（即，一个信号 = 一行）。这些信号中的每一个都必须具有长度 N。这实际上是您的矩阵 R，它按原样正确评估。虽然我想建议代码改进：而不是构建一个列然后转置矩阵你可以直接构建每行这样的矩阵：

R=zeros(m,N);
R(:,1)=rand(m,1); %build the first column with m initial conditions

请注意：运行 randn() 您的 select 值具有高斯（正态）分布，这些值可能不在范围内]0;1[ 如论文中所述（等式 9 正下方）。相反，通过使用 rand()，您可以在该范围内获取均匀分布的值。

之后，您可以根据for循环分别构建每一行：

for i=1:m
    for j=2:N %skip first column
        R(i,j)=4*R(i,j-1)*(1-R(i,j-1));
        R(i,j)=R(i,j)-0.5;
    end
end

托普利茨混沌感知矩阵（第 B 部分）

第 B 节开头明确指出，要构建 Toeplitz 矩阵，您应该考虑具有给定的单一初始条件的单个序列 x .那么让我们构建这样的序列：

x=rand();
for j=2:N %skip first element
   x(j)=4*x(j-1)*(1-x(j-1));  
   x(j)=x(j)-0.5;
end

现在，构建矩阵你可以考虑：

第一行怎么样？好吧，它看起来像序列本身，但是翻转了（即不是从 0 到 n-1，而是从 n-1到0)
第一列是什么样子的？它是 x 中的最后一项，与 0 到 m-2

然后让我们构建第一行 (r) 和第一列 (c):

r=fliplr(x);
c=[x(end) x(1:m-1)];

请注意：在 Matlab 中，索引从 1 开始，而不是从 0（所以不是从 0 到 m-2，我们从1到m-1）。另外 end 表示给定数组中的最后一个元素。

现在查看toeplitz()函数的帮助，明确说明可以通过指定第一行第一列来构建非平方托普利茨矩阵。因此，最后，您可以构建这样的矩阵：

T=toeplitz(c,r);

这样的矩阵确实有维度 m*N，正如论文中所报道的那样。

尽管作者都称它们为\Phi，但它们实际上是两个独立的矩阵。
他们不取Beta-Like Matrix的Toeplitz（Toeplitz矩阵不是某种函数或运算符），他们也不将Beta-Like Matrix转换为Toeplitz-matrix .
你先有 Beta-Like Matrix（即 Chaotic Sensing Matrix），然后是 Toeplitz-structured Chaotic Sensing Matrix：这样的 structure 是Toeplitz 矩阵的典型特征，即对角线常数结构（沿对角线的所有元素都具有相同的值）。

Matlab：如何将矩阵转换为 Toeplitz 矩阵

Matlab: How to convert a matrix into a Toeplitz matrix

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