最大化复数的绝对实部之和
Maximize sum of absolute real parts of complex numbers
假设复数 a1..an，角度是多少 phi 这些数字必须旋转 (= 乘以 exp (i*phi) ) 最大化实部绝对值之和?
in:=complex[N]
out:=in.*exp(i*phi)
f:=sum(abs(real(out)))
-> 哪个 phi 使 f 最大化？
是否有一个优雅的解决方案（如不迭代 phi）？
不难找到每个数字必须乘以的角度才能使它成为真实的，但是对这些角度进行加权以找到所有角度的最佳角度是困难的，因为旋转显然不是线性的 -像
sum(phiN.*abs(in))/sum(abs(in))
不起作用（产生的总和低于通过迭代 -pi 到 pi 找到的角度）
欢迎任何想法..
虽然存在解析解，但通常很难计算（对于少量输入变量（n）可能是可行的）。我将首先介绍这个解决方案，然后提出备选方案。
解析解
给定输入数字 (l1, phi1), (l2, phi2), ... (ln, phin)，其中 li 是数字的长度，phii 是数字的角度，您想要找到：
arg max_phi Sum_i abs(li cos(phii + phi))
你只有一个自变量。因此，我们首先推导关于 phi:
的函数
f'(phi) = Sum_i (-li sin(phii + phi) * abs'(l cos(phii + phi))
abs'(x) 是 +1 或 -1。由于它的不连续性，我们不会绕过尝试每一种组合。所以你最终得到 f' 的 2^n 个变体。最优值是 f'(phi)=0 的（通常是四个）参数之一。这可以计算如下。我用 si 表示第 i 个项的符号，您需要修改它：
numerator = Sum_i si li sin(phii)
denominator = (Sum_i li^2) + (Sum_i Sum_{j>i} 2 * li * lj * si * sj
cos(phii - phij))
那么，四个候选解是：
phi* = -arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi** = -arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
phi*** = arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**** = arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
找到每个变体的所有候选项，并选择最大 f(phi) 的一个。但是，如前所述，这种方法不适用于大型n。您需要 f 的 2^n 个变体，每个变体都需要 O(n^2) 时间来构建解决方案。
数值解
另一种方法是数值优化方法。挑战在于您的功能不是凸的。因此，如果找到局部最大值，则不能说它是否是全局最大值。大多数算法都需要良好的初始化。您可以通过对 phi 的域进行采样并选择最佳点来找到初始点。然后，尝试一些标准方法（Newton、Levenberg-Marquardt、BFGS）。
假设复数 a1..an，角度是多少 phi 这些数字必须旋转 (= 乘以 exp (i*phi) ) 最大化实部绝对值之和?
in:=complex[N]
out:=in.*exp(i*phi)
f:=sum(abs(real(out)))
-> 哪个 phi 使 f 最大化？
是否有一个优雅的解决方案（如不迭代 phi）？
不难找到每个数字必须乘以的角度才能使它成为真实的，但是对这些角度进行加权以找到所有角度的最佳角度是困难的，因为旋转显然不是线性的 -像
sum(phiN.*abs(in))/sum(abs(in))
不起作用（产生的总和低于通过迭代 -pi 到 pi 找到的角度）
欢迎任何想法..
虽然存在解析解，但通常很难计算（对于少量输入变量（n）可能是可行的）。我将首先介绍这个解决方案，然后提出备选方案。
解析解
给定输入数字 (l1, phi1), (l2, phi2), ... (ln, phin)，其中 li 是数字的长度，phii 是数字的角度，您想要找到：
arg max_phi Sum_i abs(li cos(phii + phi))
你只有一个自变量。因此，我们首先推导关于 phi:
f'(phi) = Sum_i (-li sin(phii + phi) * abs'(l cos(phii + phi))
abs'(x) 是 +1 或 -1。由于它的不连续性，我们不会绕过尝试每一种组合。所以你最终得到 f' 的 2^n 个变体。最优值是 f'(phi)=0 的（通常是四个）参数之一。这可以计算如下。我用 si 表示第 i 个项的符号，您需要修改它：
numerator = Sum_i si li sin(phii)
denominator = (Sum_i li^2) + (Sum_i Sum_{j>i} 2 * li * lj * si * sj
cos(phii - phij))
那么，四个候选解是：
phi* = -arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi** = -arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
phi*** = arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**** = arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
找到每个变体的所有候选项，并选择最大 f(phi) 的一个。但是，如前所述，这种方法不适用于大型n。您需要 f 的 2^n 个变体，每个变体都需要 O(n^2) 时间来构建解决方案。
数值解
另一种方法是数值优化方法。挑战在于您的功能不是凸的。因此，如果找到局部最大值，则不能说它是否是全局最大值。大多数算法都需要良好的初始化。您可以通过对 phi 的域进行采样并选择最佳点来找到初始点。然后，尝试一些标准方法（Newton、Levenberg-Marquardt、BFGS）。