第一性原理的最小二乘曲面拟合

Question

我想做这个 "by hand" 而不是使用曲面拟合工具，因为根据我拥有的数据，曲面拟合可能会有所不同。所以，我首先读取 excel sheet 中的数据，然后初始化一些系数，计算 3D 表面 (f(x,y)) 然后计算总最小二乘和，我会喜欢最小化。每次我运行脚本都会告诉我我处于局部最小值，即使我更改了初始值也是如此。更改公差也不影响结果。

这是代码：

% flow function in a separate .m file (approximation, it’s a negative paraboloid, maybe if required, this function may vary):

function Q = flow(P1,P2,a,b,c,d,e,f)
Q1 = a-b.*P1-c.*P1.^2;
Q2 = d-e.*P2-f.*P2.^2;
Q = Q1 + Q2;

% Variable read, I use a xlsread instead
p1a = [-5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5];
p2a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
qa = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1];

p1b = [-6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6];
p2b = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
qb = [12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3];

% Variable initialization
coef = [50, 1, 1, 10, 1, 1];

% Function calculation
q1a = flow(p1a,p2a,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6)); 
q1b = flow(p1b,p2b,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6));

% Least squares
LQa = (qa-q1a).^2;
LQb = (qb-q1b).^2;
Sa = sum(LQa);
Sb = sum(LQb);
St = Sa+Sb;

% Optimization (minimize the least squares sum)
func = @(coef)(St);
init = coef;
opt = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter','TolX', 1e-35, 'TolFun', 1e-30);
[coefmin, Stmin] = fminunc(func, init, opt);

如果你运行这个，你应该得到 15546 对于 Stmin 的结果，但是如果你改变系数，你会得到另一个结果，它也会被视为局部最小值。

我做错了什么？

Answer 1

问题是您的 func 只是一个常量。它只是 returns 一个 预先计算的 值 St，无论您将什么输入传递给 func，它都是不变的。尝试使用各种不同的输入调用 func 来测试这一点。

您的 objective 函数需要包含让您达到 St 的所有计算。因此，我建议您将 func 替换为保存在 m 文件中的函数，如下所示：

function St = objectiveFunction(coef, p1a, p2a, p1b, p2b, qa, qb, q1a, q1b)

    % Function calculation
    q1a = flow(p1a,p2a,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6)); 
    q1b = flow(p1b,p2b,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6));

    % Least squares
    LQa = (qa-q1a).^2;
    LQb = (qb-q1b).^2;
    Sa = sum(LQa);
    Sb = sum(LQb);
    St = Sa+Sb;

end

然后在您的脚本调用 objectiveFunction 中使用这样的匿名函数：

[coefmin, Stmin] = fminunc(@(coef)(objectiveFunction(coef, p1a, p2a, p1b, p2b, qa, qb, q1a, q1b)), init, opt);

这个想法是创建一个匿名函数，它只接受一个参数，coef，这是 fminunc 将扰乱并传递回您的 objective 函数的变量。您的 objectiveFunction 需要的其他参数（即 p1a, p2a, p1b,...）现在被认为是由您的匿名函数预先计算的，因此由 fminunc.

其余代码可以保持不变。

第一性原理的最小二乘曲面拟合

Least square surface fitting from first principles

matlab

optimization

surface