3D 中的圆-圆相交

Question

我有两个圆，每个圆由中心点 c = (x,y,z) 半径 r 和法向量 n = (x,y,z)（垂直于圆的平面）定义。

如何计算两个这样的圆的交点（不一定在同一平面上）？

如果没有交点，但那些圆不平行，如果增加或减少半径直到它们接触，如何得到这些圆相交的点？

Answer 1

如果n1 x n2 = 0则法向量是（反）共线的，并且平面是平行的。

如果Dot(c1-c2, n1) = 0则相同，否则圆相交是不可能的

两个圆在同一平面的情况。我假设 r2>=r1

cdiff = (c1-c2)
cdifflen = cdiff.Length 

if cdifflen > r1 + r2 then no intersection
if cdifflen = r1 + r2 then intersection exists in one point
p = (c1 * r2  + c2 * r1) / (r1 + r2)

if cdifflen < r2 - r1 then no intersection
if cdifflen = r2 - r1 then intersection exists in one point
p = (c1 - c2) * r2 /(r2 - r1)

otherwise there are two intersection points
cdiffnorm = cdiff.Normalized //unit vector
cdiffperp = cdiffnorm * n1.Normalized
q = cdifflen^2 + r2^2 - r1^2
dx = 1/2 * q / cdifflen
dy = 1/2 * Sqrt(4 * cdifflen^2 * r2^2 - q^2) / cdifflen 
p1,2 = c1 + cdiffnorm * dx +/- cdiffperp * dy

一些公式的解释here

如果平面不平行，它们的交点是一条有方向向量的直线

dl = n1 x n2

可以使用 Geometric Tools Engine（文件 GteIntrPlane3Plane3.h）找到这条线的基点。然后检查两个圆与这条线的交点，如果存在则比较交点。

3D 中的圆-圆相交

Circle-circle intersection in 3D

math

3d

geometry

intersection