我无法理解这个 Horner 规则在扩展字段 GF(p^n) 中的实现

Question

我试图从 this (old) implementation on github 了解沙米尔秘密共享方案的实施，我在扩展字段 GF(p^n):

中与霍纳规则作斗争

void horner(int n, mpz_t y, const mpz_t x, const mpz_t coeff[])
{
  int i;
  mpz_set(y, x);
  for(i = n - 1; i; i--) {
    field_add(y, y, coeff[i]);
    field_mult(y, y, x);
  }
  field_add(y, y, coeff[0]);
}

为什么先是add，然后才是mult？算法是什么？为什么不是这样的：

  mpz_set(y,coeff[n-1]);
  for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    field_mult(y, y, x);
    field_add(y,y,coeff[i]);
  }

Answer 1

用正常的加法和乘法符号翻译这个horner函数，我们得到：

y = x;                     // mpz_set(y, x);
for(i = n - 1; i; i--) {
    y = y + coeff[i];      // field_add(y, y, coeff[i]);
    y = y * x              // field_mult(y, y, x);
}
y = y + coeff[0]           // field_add(y, y, coeff[0]);

因此计算如下：

您可以看到它不计算任何多项式，但它是计算 monic polynomial.

的 Horner 算法的变体

现在你的建议是：

y = coeff[n-1];               // mpz_set(y,coeff[n-1]);
for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

因此您可以计算以下内容：

您可以看到缺少最高阶项。

如果你想把所有的操作都放在循环体内，你可以。毕竟，这只是对一系列交替指令进行不同分解的两种方式：

operation    value of y                                    loop iteration
                                                 add-mult loop      mult-add loop
                x                               initialization         n-1
add       x + coeff[n-1]                             n-1               n-1
mult     (x + coeff[n-1]) * x                        n-1               n-2
add      (x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]           n-2               n-2
mult    ((x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]) * x      n-2               n-3
          ...etc...

但是您需要将 y 显式初始化为值 1（这是隐式的 coeff[n]），这样您就可以开始乘以 x 并得到正确的最高阶项。

y = 1;                        // mpz_set(y,1);
for(i = n - 1; i!=-1; i--) {  // NOTICE n - 1 NOT n - 2
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

你可以算一下，你现在又进行了一次乘法，而且是乘法1 * x。在有限域上，这通常使用对数表和反对数表来完成，因此您最好避免这种无用的乘法，特别是如果您要经常计算多项式。

TL;DR：这种编写 Horner 算法的方法将最后一次加法和第一次乘法放在循环体之外。因为最高阶系数是1所以这个乘法就完全去掉了。

澄清一下：保留了最高阶项，但随后是 x^n 而不是 1 * x^n。您为完全相同的结果节省了一次乘法。

我无法理解这个 Horner 规则在扩展字段 GF(p^n) 中的实现

I can't understand this Horner's rule implementation in extended fields GF(p^n)

c

algorithm

math

gmp