为什么用 Eigen 和 OpenCV 计算的 SVD 左奇异向量有不同的符号

Question

我同时使用 OpenCV 和 Eigen 来计算 SVD：

Eigen:
JacobiSVD<Matrix3f> svd(myM, ComputeFullU);

OpenCV:
cvSVD(&myM, &w, &u, 0, CV_SVD_MODIFY_A | CV_SVD_U_T);

我关注的是左奇异向量：

Eigen result:
 0.0341698  -0.064916   0.997306
  0.950241  -0.307051 -0.0525437
  0.309635   0.949476   0.051194

OpenCV result:
[0.03417001163639093, -0.06491612525262211, 0.9973055233913801;
  -0.9502414121501213, 0.3070511298822651, 0.05254390804810754;
  -0.3096347347112595, -0.9494764348419663, -0.05119404985032185]

虽然一个是float型，一个是double型，但计算出的左奇异向量符号不同。所以我的问题是：

这种符号差异真的很重要吗？
如何使它们相同？

Answer 1

不，没关系，因为相应的符号差也会出现在右奇异向量上，所以基本上
```
U * S * V^adjoint
```
会给你正确的结果。

更准确地说，来自维基百科：

Non-degenerate singular values always have unique left- and right-singular vectors, up to multiplication by a unit-phase factor exp(iφ) (for the real case up to sign). Consequently, if all singular > values of M are non-degenerate and non-zero, then its singular value decomposition is unique, up to multiplication of a column of U by a unit-phase factor and simultaneous multiplication of the corresponding column of V by the same unit-phase factor.
您为什么希望它们完全相同？如果你真的想要，你可以通过除第一个分量得到相位，然后乘以那个相位使它们相等。
由于奇异值的排序，可能还会出现额外的差异，afaik eigen 将它们按降序排列，opencv 不确定。

Answer 2

奇异值分解不是唯一的，有多种可能的分解。奇异值的实际集合是唯一的，但向量的左矩阵和右矩阵可以有不同的符号，这无关紧要，因为多个组合符号可以抵消。

一个明显的例子，对于 M = UΣV*，像 M=(-U)Σ(-V*) = UΣV* 一样分解，但一般来说，左右奇异向量可以有不同的符号组合。

这种差异并不重要，所以我认为您不必费心尝试使它们相同。

不仅如此，奇异向量的顺序也可以变化。一般是奇异值降序排列。

为什么用 Eigen 和 OpenCV 计算的 SVD 左奇异向量有不同的符号

Why SVD left singular vectors computed with Eigen and OpenCV have different signs

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