Matlab积分的不连续性

Question

我正在尝试在 Matlab 中对不连续函数进行数值积分。

fun = @(z) 1./((z+1).^2+4) * 1./(exp(-z)-1);
q = integral(fun,-Inf,Inf,'Waypoints',[0])

在 z=0 处有不连续性，但我不确定如何使用 Waypoints 选项来指定它。我收到一条错误消息：

Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use. Approximate bound on error is 7.4e-01. The integral may not exist, or it may be difficult to approximate numerically to the requested accuracy.

如何准确计算这个积分？

Answer 1

来自文档 "Use waypoints to indicate any points in the integration interval that you would like the integrator to use."

可能是该等式中您不想使用零的唯一点....因为该函数在该值处未定义（它的左边和右边的极限不同，因此它不是无限的，它未定义）。

Wolfram Alpha claims that the integral does not exists.

所以，当 MATLAB 说

"The integral may not exist, or it may be difficult to approximate numerically to the requested accuracy"

它是....因为它可能不存在！

我猜你总是可以这样做：

q = integral(fun,-Inf,-0.001)+integral(fun,0.001,Inf);

但我不确定这有多正确....

Answer 2

为@Ander Biguri 的正确答案添加备注。

还有其他具有奇异性的函数，例如1/((x+1)*sqrt(x))（看improper integrals）

integral(@(x) 1./((x+1).*sqrt(x)), 0, inf)

ans =

    3.1416

甚至与不在积分范围边界处的奇点收敛的函数

integral(@(x) 1./(x.^2).^(1/3), -1, 1)

ans =

    6.0000

所以 MATLAB 做的一切都是正确的。你的函数不收敛。

也许您对 Cauchy's principal value 感兴趣，但这是另一个话题。

Matlab积分的不连续性

Discontinuity in Matlab integral

matlab

function

integral