mempty 有不同的定义取决于 mempty 是左还是右 arg？

Question

我有以下数据类型和半组实例：

data Or a b =
  Fst a
  | Snd b deriving (Eq, Show)

instance Semigroup (Or a b) where
  (<>) (Fst a) (Fst b) = Fst b
  (<>) (Snd a) (Fst b) = Snd a
  (<>) (Fst a) (Snd b) = Snd b
  (<>) (Snd a) (Snd b) = Snd a

我想为上面的类型创建一个幺半群实例，但我不知道该怎么做。如果我使用下面的定义

instance (Monoid a, Monoid b) => Monoid (Or a b) where
  mempty = (Fst mempty)
  mappend = (<>)

它适用于 <> 的所有输入对，除了我 mappend

(Fst a) <> mempty

计算结果为 mempty。

如何解决这个问题，使 mempty 有效？似乎没有一些新的语法或概念就无法完成，因为它取决于 mempty 是在左边还是右边...

Answer 1

有一个非常好的（和更简单的）半群，它总是采用第一个参数：

newtype FirstS a = FirstS a
instance Semigroup (FirstS a) where
    a <> b = a

不幸的是，它不是幺半群，因为——除了包装类型的微不足道的选择——这个操作没有左标识。标准 First 类型通过添加可区分的标识元素来修补 FirstS，因此：

newtype First a = First (Maybe a)
instance Semigroup (First a) where
    First Nothing <> b = b
    a <> First Nothing = a
    a <> b = a -- this clause is exactly as before

那么选择mempty = First Nothing就很容易编写Monoid实例了。您可以通过向您的类型添加可区分的标识元素来使用类似的技巧：

data Or a b = Fst a | Snd b | Neither
instance Semigroup (Or a b) where
    Neither <> b = b
    a <> Neither = a
    -- the remainder of the clauses are as before

这使得 mempty = Neither 的选择变得非常容易。

这个模式非常有用，它实际上在 semigroups 中有一个新类型包装器，所以你也可以使用你原来的 Or a b 类型来编写这个补丁类型，就像 Option (Or a b)并免费获得 Semigroup 和 Monoid 个实例。

mempty 有不同的定义取决于 mempty 是左还是右 arg？

mempty with different definition depending on whether mempty is left or right arg?

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