计算三次贝塞尔曲线的拐点？

Question

我有四个点构成三次贝塞尔曲线：

P1 = (10, 5)
P2 = (9, 12)
P3 = (24, -2)
P4 = (25, 3)

现在我想找到这条曲线的拐点。我用谷歌搜索 and/but 每个人都指的是一个网站：http://www.caffeineowl.com/graphics/2d/vectorial/cubic-inflexion.html

不幸的是，这些小程序无法正常工作，我根本无法将它们组合在一起。有人可以教我如何计算曲线的拐点吗？

Answer 1

对于贝塞尔曲线，您有两个参数方程 X(t) 和 Y(t)。要确定参数曲线的拐点，您需要找到曲线曲率（wiki）改变符号的位置。所以你需要找到上述函数的一阶和二阶导数并求解方程：

C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0

一阶导数是二次导数，二阶导数是线性导数，所以t的方程是三次导数，最多可以有3个解。

编辑：已阅读链接文章，方程已简化为二次方程，最多可有 2 个解。

如果 t 范围 0..1 中存在解，您还必须检查它是否是真正的拐点 - 检查 C'(t) <> 0 在此 t 值。

示例：蓝色圆圈是拐点（抓到两个）

实码(Delphi)
给定：
P是控制点数组
Cf 是贝塞尔曲线的幂基系数

P, Cf: array[0..3] of TPoint

//calculate Bezier coefficients
Cf[3].x := p[3].x - 3 * p[2].x + 3 * p[1].x - p[0].x;
Cf[2].x := 3 * (p[0].x - 2 * p[1].x + p[2].x);
Cf[1].x := 3 * (p[1].x - p[0].x);
Cf[0].x := p[0].x;
//the same for Y

//find parameters of quadratic equation
// a*t^2 + b*t + c = 0
a := 3 * (cf[2].X *cf[3].Y - cf[2].Y *cf[3].X);
b := 3 * (cf[1].X *cf[3].Y - cf[1].Y *cf[3].X);
c := cf[1].X *cf[2].Y - cf[1].Y *cf[2].X;

//here solve quadratic equations, find t parameters
//don't forget a lot of special cases like a=0, D<0, D=0, t outside 0..1 range
Discriminant := b * b - 4 * a * c;
....

Answer 2

为了详细说明 MBo 的答案，C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0 几乎就是您想要的伪代码，因为一阶和二阶导数非常容易计算。

根据 this explanation of Bezier derivatives 和坐标为 (x1,y1)...(x4,y4) 的通用贝塞尔函数，我们得到：

fx(t) = x1 (1-t)³ + 3·x2·(1-t)²·t + 3·x3·(1-t)·t² + x4·t³
fx'(t) = a·(1-t)² + 2·b·(1-t)·t + c·t²

其中 a = 3(x2-x1)，b = 3(x3-x2)，c = 3(x4-x3)，并且：

fx''(t) = u·(1-t) + v·t

其中 u = 2(b-a) 且 v = 2(c-b)。当然，y 分量也是如此：

fy(t) = y1 (1-t)³ + 3·y2·(1-t)²·t + 3·y3·(1-t)·t² + y4·t³
fy'(t) = a'·(1-t)² + 2·b'·(1-t)·t + c'·t²
fy''(t) = u'·(1-t) + v'·t

其中 a' 与 a 相同，但具有 y 值等。

计算 C(t) = fx'(t)·fy''(t) - fx''(t)·fy'(t) 的数学很烦人，但这就是我们拥有计算机的原因。如果您拥有 raspberry pi，则您拥有 Mathematica 的许可证，所以让我们使用它：

这是一个庞大的公式，但是找到 "arbitrary" 曲线的拐点有点傻，因为贝塞尔曲线对于线性仿射变换是不变的，所以拐点的 t 值无论我们检查 "the real curve" 还是 rotate/translate/scale 曲线都保持不变，以便它具有更方便的坐标。就像翻译它使 (x1,y1) 最终成为 (0,0)，并且 (x4,y4) 位于 x 轴上，因此 y4 为零。

如果我们这样做，那么我们会得到一个简单得多的公式：

这有多简单？嗯：

18 times:
  -     x3 * y2
  + 3 * x3 * y2 * t
  - 3 * x3 * y2 * t^2
  -     x4 * y2 * t
  + 2 * x4 * y2 * t^2
  +     x2 * y3
  - 3 * x2 * y3 * t
  + 3 * x2 * y3 * t^2
  -     x4 * y3 * t^2

由于我们正在编程，因此其中包含大量可缓存的值。服用：

a = x3 * y2
b = x4 * y2
c = x2 * y3
d = x4 * y3

我们可以将C(t)简化为：

1/18 * C(t) = -a + 3at - 3at^2 - bt + 2bt^2 + c - 3ct + 3ct^2 - dt^2
= -3at^2 + 2bt^2 + 3ct^2 - dt^2 + 3at - bt - 3ct - a + c
= (-3a + 2b + 3c - d)t^2 + (3a - b - 3c)t + (c - a)

把那个因子 18 放回去，这只是一个简单的二次公式，我们可以使用具有更简单值的二次根恒等式求根：

v1 = (-3a + 2b + 3c - d) * 18
v2 = (3a - b - 3c) * 18
v3 = (c - a) * 18

并且，假设 3a +d 不等于 2b+3c（因为如果是这样的话就没有根），我们得到：

  sqr = sqrt(v2^2 - 4 * v1 * v3)
    d = 2 * v1
root1 =  (sqr - v2) / d
root2 = -(sqr + v2) / d

丢弃不在贝塞尔区间 [0,1] 内的根，剩下的是原始曲线拐点的 t 值。

It's just that I am not able to put things together in a way so that I end up having some nice pseudo-code. That is also why I gave some points and coordinates. I'd like to see someone calculating this with real numbers

尤其是在 Whosebug 上，最好不要一开始就懒惰，而是承诺可能必须学习新事物。

计算三次贝塞尔曲线的拐点？

Calculating the inflection point of a cubic bezier curve?

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