周期性边界条件 - 有限差分

Question

您好，我有下面的代码可以求解非线性耦合 PDE。但是我需要实施周期性边界条件。周期性边界条件让我很困扰，我应该在我的代码中添加什么来强制执行周期性边界条件？根据以下模块化算法建议更新。

注意，t>=0且x在区间[0,1]内。这是耦合方程，下面我提供我的代码

其中 a、b > 0。

这些是初始条件，但现在我需要施加周期性边界条件。这些在数学上可以写为 u(0,t)=u(1,t) 和 du(0,t)/dx=du(1,t)/dx，这同样适用于 f(x,t)。 du/dx 我的边界条件实际上是偏导数。

我的代码如下

program coupledPDE 

integer, parameter :: n = 10, A = 20 
real, parameter :: h = 0.1, k = 0.05 
real, dimension(0:n-1) :: u,v,w,f,g,d 
integer:: i,m 
real:: t, R, x,c1,c2,c3,aa,b 

R=(k/h)**2.
aa=2.0
b=1.0
c1=(2.+aa*k**2.-2.0*R)/(1+k/2.)
c2=R/(1.+k/2.)
c3=(1.0-k/2.)/(1.0+k/2.)
c4=b*k**2./(1+k/2.)


do i = 0,n-1 !loop over all space points except 0 and n
  x = real(i)*h    
  w(i) = z(x)  !u(x,0)
  d(i) = z(x)  !f(x,0)
end do


do i=0,n-1
  ip=mod(i+1,n)
  il=modulo(i-1,n)
  v(i) = (c1/(1.+c3))*w(i) + (c2/(1.+c3))*(w(ip)+w(il)) -(c4/(1.+c3))*w(i)*((w(i))**2.+(d(i))**2.)    !\partial_t u(x,0)=0
  g(i) = (c1/(1.+c3))*d(i) + (c2/(1.+c3))*(d(ip)+d(il)) -(c4/(1.+c3))*d(i)*((w(i))**2.+(d(i))**2.)    !\partial_t f(x,0)=0
end do

do m=1,A 

   do i=0,n-1
       ip=mod(i+1,n)
       il=modulo(i-1,n)
       u(i)=c1*v(i)+c2*(v(ip)+v(il))-c3*w(i)-c4*v(i)*((v(i))**2.+(g(i))**2.) 
       f(i)=c1*g(i)+c2*(g(ip)+g(il))-c3*d(i)-c4*g(i)*((v(i))**2.+(g(i))**2.) 
   end do 
     print*, "the values of u(x,t+k) for all m=",m
   print "(//3x,i5,//(3(3x,e22.14)))",m,u   

  do i=0,n-1
   w(i)=v(i)
   v(i)=u(i)
   d(i)=g(i)
   t=real(m)*k
   x=real(i)*k
  end do

end do


end program coupledPDE

function z(x)
real, intent(in) :: x
real :: pi
pi=4.0*atan(1.0)
z = sin(pi*x)
end function z

感谢阅读，如果我应该以更合适的方式重新格式化我的问题，请告诉我。

Answer 1

PDE 离散化中边界条件的一种选择是使用幻影（光晕）单元（网格点）。对于周期性 BC，它可能不是最聪明的一种，但它可以用于所有其他边界条件类型。

因此您将数组声明为

real, dimension(-1:n) :: u,v,w,f,g,d

但您仅在点 0..n-1 中求解 PDE（点 n 与点 0 相同）。您也可以从 1..n 开始并声明数组形式 0..n+1.

然后你设置

 u(-1) = u(n-1)

和

 u(n) = u(0)

所有其他数组也一样。

在每个时间步，您都为 u 和 f 或在解决方案期间修改的所有其他字段再次设置：

do m=1,A 
   u(-1) = u(n-1)
   u(n) = u(0)
   f(-1) = f(n-1)
   f(n) = f(0)

   do i=0,n-1 !Discretization equation for all times after the 1st step
       u(i)=...
       f(i)=...
   end do 
end do

以上所有假设显式时间离散化和空间离散化具有有限差分，并且假设 x(0) = 0 和 x(n) = 1 是您的边界点。

周期性边界条件 - 有限差分

periodic boundary conditions - finite differences

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