在嵌入式上快速解决许多微小的线性规划问题
Solving many tiny linear programming problems quickly on embedded
作为在 iOS/Android 上运行的程序的一些实时渲染过程的一部分，用 C/C++ 编写，我需要解决许多微小的线性规划问题，有 5 个变量和 2 个约束, 即
minimize: a_0*x + b_0*y + c_0*z + d_0*u + e_0*v
subject to:
p_1 = a_1*x + b_1*y + c_1*z + d_1*u + e_1*v
p_2 = a_2*x + b_2*y + c_2*z + d_2*u + e_2*v
0 <= x <= x_max
0 <= y <= y_max
0 <= z <= z_max
0 <= u <= u_max
0 <= v <= v_max
我想使用宽松许可证快速解决这个问题。
搜索我找到了 Google 的线性优化库 glop (Apache2)，但是
- 这是一个相当大的依赖项，这么小的东西需要 7MB 的代码
- 我担心设置 LP 问题的开销。
我觉得应该可以直接解决这个问题，只需枚举顶点并测试 objective 函数，但我无法理解它。
有没有我可以使用的开销很小的小型 LP 库？或者，我将如何分解数学？
解决方案可以合理地硬编码如下：
采用前两个线性约束和 select 三个变量（有 10 种方法），您可以为它们分配 0 或 max（有 8 种方法） ).这导致 10 个基本 2x2 系统，具有 8 个不同的右侧。
检查这些解决方案是否可接受（两个计算的未知数在 0 到最大值范围内）。
保留最小化 objective 的可接受解。
仔细微优化和展开的代码可以击败通用求解器（单纯形算法），我不会感到惊讶。
我建议您使用 Sensitivity Analysis for Linear Programming (example with Excel is here)。这个想法是解决 LP：min{ cx: Ax>= b } 对于给定的输入 (c,A,b) 并找到解决方案保持最佳的参数范围（使用上面 link 中的公式）。如果您知道参数的大致可能范围，那么只需求解多个 LP 并存储范围和解决方案即可。
你的可行集是一个被两个平面分割的 5 维超立方体。它足够小，可以用不同的形式表示——作为极端顶点的组合。可以枚举顶点，只需在每个顶点中评估objective函数即可找到最优
如果您的平面系数发生变化，您可以从将超立方体定义为极端顶点组合的 32 个顶点开始。
您需要编写一些代码来根据平面对由极端顶点表示的区域（多面体）进行切片。
因为你只切了两次，所以不会添加太多额外的顶点。
作为在 iOS/Android 上运行的程序的一些实时渲染过程的一部分，用 C/C++ 编写，我需要解决许多微小的线性规划问题，有 5 个变量和 2 个约束, 即
minimize: a_0*x + b_0*y + c_0*z + d_0*u + e_0*v
subject to:
p_1 = a_1*x + b_1*y + c_1*z + d_1*u + e_1*v
p_2 = a_2*x + b_2*y + c_2*z + d_2*u + e_2*v
0 <= x <= x_max
0 <= y <= y_max
0 <= z <= z_max
0 <= u <= u_max
0 <= v <= v_max
我想使用宽松许可证快速解决这个问题。
搜索我找到了 Google 的线性优化库 glop (Apache2)，但是
- 这是一个相当大的依赖项，这么小的东西需要 7MB 的代码
- 我担心设置 LP 问题的开销。
我觉得应该可以直接解决这个问题，只需枚举顶点并测试 objective 函数，但我无法理解它。
有没有我可以使用的开销很小的小型 LP 库？或者，我将如何分解数学？
解决方案可以合理地硬编码如下：
采用前两个线性约束和 select 三个变量（有 10 种方法），您可以为它们分配 0 或 max（有 8 种方法） ).这导致 10 个基本 2x2 系统，具有 8 个不同的右侧。
检查这些解决方案是否可接受（两个计算的未知数在 0 到最大值范围内）。
保留最小化 objective 的可接受解。
仔细微优化和展开的代码可以击败通用求解器（单纯形算法），我不会感到惊讶。
我建议您使用 Sensitivity Analysis for Linear Programming (example with Excel is here)。这个想法是解决 LP：min{ cx: Ax>= b } 对于给定的输入 (c,A,b) 并找到解决方案保持最佳的参数范围（使用上面 link 中的公式）。如果您知道参数的大致可能范围，那么只需求解多个 LP 并存储范围和解决方案即可。
你的可行集是一个被两个平面分割的 5 维超立方体。它足够小，可以用不同的形式表示——作为极端顶点的组合。可以枚举顶点，只需在每个顶点中评估objective函数即可找到最优
如果您的平面系数发生变化，您可以从将超立方体定义为极端顶点组合的 32 个顶点开始。
您需要编写一些代码来根据平面对由极端顶点表示的区域（多面体）进行切片。
因为你只切了两次，所以不会添加太多额外的顶点。