在记录中实现级别多态子集

Question

使用子集的概念作为谓词，

ℙ : ∀ {b a} → Set a → Set (a ⊔ suc b)
ℙ {b} {a} X = X → Set b

我想考虑在子集上赋予谓词的结构，

record SetWithAPredicate {a c} : Set {!!} where
  field
   S : Set a
   P : ∀ {b} → ℙ {b} S → Set c

由于 ℙ 中使用的水平量化，这是一个错误的结构。当我使用 S, P 作为模块的参数时，一切正常，但我希望它们成为记录，以便我可以在它们上形成构造并提供它们的实例。

我尝试了一些其他的事情，例如通过存在主义将 ℙ 的级别 b 移动到定义中，但这导致了元变量的麻烦。我还尝试更改 P,

的类型

P : ℙ {a} S → Set c

但是我不能再要求空集有属性:

P-⊥ : P(λ _ → ⊥)

自从 Set != Set a 以来，这不是很好的类型---我必须承认，我试图在这里使用 Level.lift，但没有成功。更一般地说，这也不允许我表达闭包属性，例如 P 在任意联合下被关闭——这才是我真正感兴趣的。

我知道我可以避免级别多态性，

ℙ' : ∀ {a} → Set a → Set (suc zero ⊔ a)
ℙ' {a} X = X → Set

然后是简单的项目，例如最大的子集，

ℙ'-⊤ : ∀ {i} {A : Set i} → ℙ' A
ℙ'-⊤ {i} {A} = λ e → Σ a ∶ A • a ≡ e
-- Σ_∶_•_ is just syntax for Σ A (λ a → ...)

甚至不会进行类型检查！

也许我没有适当地意识到子集作为谓词的概念---任何建议都将不胜感激。谢谢！

Answer 1

你需要像这样将 b 从 P 中取出

record SetWithAPredicate {a c} b : Set {!!} where
  field
   S : Set a
   P : ℙ {b} S → Set c

是的，这很丑陋也很烦人，但这就是 Agda 中的做法 (an example from standard library: _>>=_ is not properly universe polymorphic). Lift can help sometimes, but it quickly gets out of hand.

Perhaps I did not realise the notion of subset as predicate appropriately ---any advice would be appreciated.

您的定义是正确的，但还有另一个定义，请参阅 Conor McBride 的 4.8.3 lecture notes。

在记录中实现级别多态子集

Realising level polymorphic subsets within records

set

subset

agda