余数序列
Remainder sequences
我想计算 GCD 使用的两个多项式的余数序列。如果我理解关于 Pseudo-remainder sequence 的维基百科文章，计算它的一种方法是使用 Euclid 算法：
gcd(a, b) := if b = 0 then a else gcd(b, rem(a, b))
意思是我会收集 rem() 零件。但是，如果系数是整数，则中间分数增长得非常快，因此有所谓的 "Pseudo-remainder sequences" 试图将系数保持在小整数中。
我的问题是，如果我理解正确（是吗？），上面的两个序列只是常数因子不同，但是当我尝试 运行 以下示例时，我得到不同的结果，为什么？第一个余数序列相差 -2，好的，但是为什么第二个序列如此不同？我认为 subresultants() 工作正常，但为什么 g % (f % g) 不工作？
f = Poly(x**2*y + x**2 - 5*x*y + 2*x + 1, x, y)
g = Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x)
print
print subresultants(f, g)[2]
print subresultants(f, g)[3]
print
print f % g
print g % (f % g)
结果是
Poly(-2*x*y - 16*x + y - 1, x, y, domain='ZZ')
Poly(-9*y**2 - 54*y + 225, x, y, domain='ZZ')
Poly(x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2, x, y, domain='QQ')
Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x, y, domain='QQ')
the two above sequences differ only by constant factor
对于一个变量的多项式，它们是。对于多元多项式，他们没有。
多元多项式的除法是：结果取决于选择的单项式顺序（默认情况下，sympy 使用字典顺序）。当你让它用 2*x**2 - 12*x + 1 除以 x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2 时，它观察到分母的前导单项式是 x*y，而分子中没有可被 [=12= 整除的单项式].所以商为零，一切都是余数。
子结果的计算（因为它在 sympy 中实现）将 x,y 中的多项式视为 x 中的单变量多项式，其系数恰好来自 y 中的多项式环。肯定会产生一个子结果序列，其关于 x 的次数一直递减直到达到 0：该序列的最后一个多项式将不包含 x。关于 y 的度数可能（并且确实）上升，因为该算法可以毫无问题地将这些项乘以 y 中的任何多项式以使 x 退出。
结果是两种计算都正常工作，它们只是做了不同的事情。
我想计算 GCD 使用的两个多项式的余数序列。如果我理解关于 Pseudo-remainder sequence 的维基百科文章，计算它的一种方法是使用 Euclid 算法：
gcd(a, b) := if b = 0 then a else gcd(b, rem(a, b))
意思是我会收集 rem() 零件。但是，如果系数是整数，则中间分数增长得非常快，因此有所谓的 "Pseudo-remainder sequences" 试图将系数保持在小整数中。
我的问题是，如果我理解正确（是吗？），上面的两个序列只是常数因子不同，但是当我尝试 运行 以下示例时，我得到不同的结果，为什么？第一个余数序列相差 -2，好的，但是为什么第二个序列如此不同？我认为 subresultants() 工作正常，但为什么 g % (f % g) 不工作？
f = Poly(x**2*y + x**2 - 5*x*y + 2*x + 1, x, y)
g = Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x)
print
print subresultants(f, g)[2]
print subresultants(f, g)[3]
print
print f % g
print g % (f % g)
结果是
Poly(-2*x*y - 16*x + y - 1, x, y, domain='ZZ')
Poly(-9*y**2 - 54*y + 225, x, y, domain='ZZ')
Poly(x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2, x, y, domain='QQ')
Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x, y, domain='QQ')
the two above sequences differ only by constant factor
对于一个变量的多项式，它们是。对于多元多项式，他们没有。
多元多项式的除法是2*x**2 - 12*x + 1 除以 x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2 时，它观察到分母的前导单项式是 x*y，而分子中没有可被 [=12= 整除的单项式].所以商为零，一切都是余数。
子结果的计算（因为它在 sympy 中实现）将 x,y 中的多项式视为 x 中的单变量多项式，其系数恰好来自 y 中的多项式环。肯定会产生一个子结果序列，其关于 x 的次数一直递减直到达到 0：该序列的最后一个多项式将不包含 x。关于 y 的度数可能（并且确实）上升，因为该算法可以毫无问题地将这些项乘以 y 中的任何多项式以使 x 退出。
结果是两种计算都正常工作，它们只是做了不同的事情。