查找 3D 点和 3D 中的定向椭圆之间的距离 space (C++)

Question

为了给这个问题一些背景知识，我正在创建一个游戏，它需要知道一个物体的 'Orbit' 是否在另一个轨道的容差范围内。为了展示这一点，我使用目标轨道绘制了一个具有给定半径（公差）的圆环形状，现在我需要检查椭圆是否在该圆环内。

我在 Math/Stack 交换的方程式中迷路了，所以寻求更具体的解决方案。为了澄清起见，这是一张带有圆环和轨道（红线）的游戏图像。很简单，我想检查那个红色轨道是否在那个圆环形状内。

我认为我需要做的是在其中一个轨道上绘制 World-Space 中的四个点（很容易做到）。然后我需要计算该点与其他轨道椭圆之间的最短距离。这是困难的部分。有几个例子可以找到一个点到一个椭圆的最短距离，但都是二维的，很难理解。

如果该距离小于所有四个点的公差，则认为这等同于目标环面内的轨道。

为简单起见，所有这些轨道的原点始终位于世界原点 (0, 0, 0) - 我的坐标系是 Z-Up。每个轨道都有一系列定义它的参数（轨道元素）。

Answer 1

这里简单的做法：

对每个轨道进行采样以设置 N 个点。

设第一个轨道的点为 A，第二个轨道的点为 B。
```
const int N=36;
float A[N][3],B[N][3];
```
找到2个最近的点

所以 d=|A[i]-B[i]| 是最小的。如果 d 小于或等于你的 margin/treshold 那么轨道彼此太近了。
速度与准确度

除非你对 #2 使用一些高级方法，否则它的计算将是 O(N^2)，这有点可怕。 N 越大，结果的准确性越高，但计算时间也越长。有两种方法可以补救。例如：
1. 第一个小样本 N
2. 当找到最近的点时再次采样两个轨道
  
  但仅在相关点附近（更高 N）。
3. 您可以通过循环 #2 递归地提高准确性，直到您达到所需的精度
4. 测试d椭圆之间是否太接近

Answer 2

我想我可能有新的解决办法。

绘制当前轨道上的四个点（椭圆）。
将这些点投影到目标轨道（环面）的平面上。
使用目标轨道倾角作为平面的法线，计算每个（归一化）点与近点角的夹角在目标轨道上。
以此角度作为平均距平，计算等效偏心距平
使用这些偏心异常绘制目标轨道上的四个点 - 这应该是离另一个轨道最近的点。
检查这些点之间的距离。

这里的难点在于计算角度并将其转换为另一个轨道上的异常。不过，这应该比递归函数更准确、更快。当我尝试这个时会更新。

编辑：

是的，这行得通！

    // The Four Locations we will use for the checks
TArray<FVector> CurrentOrbit_CheckPositions;
TArray<FVector> TargetOrbit_ProjectedPositions;
CurrentOrbit_CheckPositions.SetNum(4);
TargetOrbit_ProjectedPositions.SetNum(4);

// We first work out the plane of the target orbit.
const FVector Target_LANVector = FVector::ForwardVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.LongitudeAscendingNode, FVector::UpVector); // Vector pointing to Longitude of Ascending Node
const FVector Target_INCVector = FVector::UpVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.Inclination, Target_LANVector);                  // Vector pointing up the inclination axis (orbit normal)
const FVector Target_AOPVector = Target_LANVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.ArgumentOfPeriapsis, Target_INCVector);           // Vector pointing towards the periapse (closest approach)

// Geometric plane of the orbit, using the inclination vector as the normal.
const FPlane ProjectionPlane = FPlane(Target_INCVector, 0.f);   // Plane of the orbit. We only need the 'normal', and the plane origin is the Earths core (periapse focal point)

// Plot four points on the current orbit, using an equally-divided eccentric anomaly.
const float ECCAngle = PI / 2.f;
for (int32 i = 0; i < 4; i++)
{
    // Plot the point, then project it onto the plane
    CurrentOrbit_CheckPositions[i] = PosFromEccAnomaly(i * ECCAngle, CurrentOrbit);
    CurrentOrbit_CheckPositions[i] = FVector::PointPlaneProject(CurrentOrbit_CheckPositions[i], ProjectionPlane);

    // TODO: Distance from the plane is the 'Depth'. If the Depth is > Acceptance Radius, we are outside the torus and can early-out here

    // Normalize the point to find it's direction in world-space (origin in our case is always 0,0,0)
    const FVector PositionDirectionWS = CurrentOrbit_CheckPositions[i].GetSafeNormal();

    // Using the Inclination as the comparison plane - find the angle between the direction of this vector, and the Argument of Periapse vector of the Target orbit
    // TODO: we can probably compute this angle once, using the Periapse vectors from each orbit, and just multiply it by the Index 'I'
    float Angle = FMath::Acos(FVector::DotProduct(PositionDirectionWS, Target_AOPVector));

    // Compute the 'Sign' of the Angle (-180.f - 180.f), using the Cross Product
    const FVector Cross = FVector::CrossProduct(PositionDirectionWS, Target_AOPVector);
    if (FVector::DotProduct(Cross, Target_INCVector) > 0)
    {
        Angle = -Angle;
    }

    // Using the angle directly will give us the position at th eccentric anomaly. We want to take advantage of the Mean Anomaly, and use it as the ecc anomaly
    // We can use this to plot a point on the target orbit, as if it was the eccentric anomaly.
    Angle = Angle - TargetOrbit.Eccentricity * FMathD::Sin(Angle);
    TargetOrbit_ProjectedPositions[i] = PosFromEccAnomaly(Angle, TargetOrbit);}

我希望评论描述这是如何工作的。折腾了几个月终于解决了。谢谢大家！

查找 3D 点和 3D 中的定向椭圆之间的距离 space (C++)

Find the distance between a 3D point and an Orientated Ellipse in 3D space (C++)

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