离散傅立叶变换给出 "right" 的复共轭答案

Question

我正在尝试在 python 中实现一个简单版本的离散傅里叶变换。我的代码如下：

#!/usr/bin/env python
import cmath
def dft_simple(sequence):
# dft of seq defined as
# sigma from n=0 to N-1 of x(n) *exp(-2*pi*j*k*n/N)
  seqLenth = len(sequence)
  complexSequence = []
  for k in range(seqLenth):
    sigma = 0 - 0j
    print("k = {}".format(k))
    for n in range(seqLenth):
      print("n = {}".format(n))
      print("value = {}".format(sequence[n] * cmath.exp(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth))))
      sigma = sigma + (sequence[n] * cmath.exp(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth)))
      print("exp = {0}".format(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth)))
    complexSequence.append(sigma)

    print("sum = {}".format(sigma))
    print("")
  return(complexSequence)
seq4 = [1,1,1,1,0,0,0,0]
print(dft_simple(seq4))

我收到的结果是：

[(4+0j), (1-2.414213562373095j), (-1.8369701987210297e-16-2.220446049250313e-16j), (1-0.4142135623730949j), -2.449293598294706e-16j, (0.9999999999999992+0.4142135623730959j), (3.2904645469127765e-16-3.3306690738754696e-16j), (0.9999999999999997+2.4142135623730954j)]

这与我在 wolfram alpha 上以两种方式计算相同序列 here, 的 DFT 时得到的答案不同。首先，wolfram alpha 除以 sqrt(N)，其中 N 是序列的长度，这只是正向和反向变换的不同对称定义。
其次，更令人困惑的是，我的实现给了我 wolfram alpha 给我的结果的复共轭——数值在其他方面大致相同。这是我的代码的实现问题（例如语法错误），还是只是 wolfram 使用不同的离散傅立叶变换定义？

Answer 1

在这两种情况下（对于缩放和复数共轭结果），根本原因是用于离散傅立叶变换 (DFT) 的定义不同。

default definition of the DFT from Wolfram使用公式：

或者等效地使用基于零的索引、时间索引 n、频率索引 k 和 j=sqrt(-1) 来与您的实现进行比较：

您的实现使用 Wolfram 所称的 "signal processing" 约定：

这又等同于：

对于实值输入序列，在复指数项中使用负号会产生一个结果，该结果是在复指数项中使用正号的相似表达式的复共轭（反之亦然）：

离散傅立叶变换给出 "right" 的复共轭答案

Discrete fourier transform giving complex conjugate of "right" answer

python

fft

complex-numbers