我的例子表明 SVD 在数值上不如 QR 分解稳定

Question

我在 Math Stackexchange 上问过这个问题，但似乎在那里没有得到足够的关注，所以我在这里问。 https://math.stackexchange.com/questions/1729946/why-do-we-say-svd-can-handle-singular-matrx-when-doing-least-square-comparison?noredirect=1#comment3530971_1729946

我从一些教程中了解到，SVD在求解最小二乘问题时应该比QR分解更稳定，并且能够处理奇异矩阵。但是下面我用matlab写的例子似乎支持相反的结论。我对 SVD 了解不深，所以如果你能在 Math StackExchange 的旧 post 中查看我的问题并向我解释，我将不胜感激。

我使用的矩阵具有较大的条件数 (e+13)。结果显示 SVD 得到比 QR(e-27) 大得多的误差 (0.8)

% we do a linear regression between Y and X
data= [
47.667483331 -122.1070832;
47.667483331001 -122.1070832
];
X = data(:,1);
Y = data(:,2);

X_1 =  [ones(length(X),1),X];

%%
%SVD method
[U,D,V] = svd(X_1,'econ');
beta_svd = V*diag(1./diag(D))*U'*Y;


%% QR method(here one can also use "\" operator, which will get the same result as I tested. I just wrote down backward substitution to educate myself)
[Q,R] = qr(X_1)
%now do backward substitution
[nr nc] = size(R)
beta_qr=[]
Y_1 = Q'*Y
for i = nc:-1:1
    s = Y_1(i)
    for j = m:-1:i+1
        s = s - R(i,j)*beta_qr(j)
    end
    beta_qr(i) = s/R(i,i)
end

svd_error = 0;
qr_error = 0;
for i=1:length(X)
   svd_error = svd_error + (Y(i) - beta_svd(1) - beta_svd(2) * X(i))^2;
   qr_error = qr_error + (Y(i) - beta_qr(1) - beta_qr(2) * X(i))^2;
end

Answer 1

SVD 可以处理秩不足。对角矩阵 D 在您的代码中有一个接近零的元素，您需要对 SVD 使用伪逆，即将 1./diag(D) 的第二个元素设置为 0，而不是巨大的值 (10^14)。您应该发现 SVD 和 QR 在您的示例中具有同样好的准确性。有关详细信息，请参阅此文档 http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall11/cos323/notes/cos323_f11_lecture09_svd.pdf

Answer 2

你基于SVD的方法与pinv function in MATLAB (see Pseudo-inverse and SVD)基本相同。但是（由于数字原因）您缺少的是使用公差值，这样任何小于此公差的奇异值都被视为零。

如果你参考 edit pinv.m，你可以看到类似下面的内容（我不会 post 这里的确切代码，因为该文件受 MathWorks 版权保护）：

[U,S,V] = svd(A,'econ');
s = diag(S);
tol = max(size(A)) * eps(norm(s,inf));
% .. use above tolerance to truncate singular values
invS = diag(1./s);
out = V*invS*U';

事实上 pinv 有第二种语法，如果默认值不合适，您可以明确指定容差值 pinv(A,tol)...

因此，在求解 minimize norm(A*x-b) 形式的最小二乘问题时，您应该了解 pinv 和 mldivide 解具有不同的性质：

x = pinv(A)*b的特点是norm(x)小于任何其他解的范数
x = A\b 具有尽可能少的非零分量（即稀疏）。

使用你的例子（注意 rcond(A) 在机器 epsilon 附近非常小）:

data = [
    47.667483331    -122.1070832;
    47.667483331001 -122.1070832
];
A = [ones(size(data,1),1), data(:,1)];
b = data(:,2);

让我们比较一下两种解决方案：

x1 = A\b;
x2 = pinv(A)*b;

首先你可以看到 mldivide returns 解 x1 有一个零分量（这显然是一个有效的解，因为你可以通过乘以零来解两个方程b + a*0 = b):

>> sol = [x1 x2]
sol =
 -122.1071   -0.0537
         0   -2.5605

接下来你会看到 pinv returns 一个更小范数的解 x2:

>> nrm = [norm(x1) norm(x2)]
nrm =
  122.1071    2.5611

这是两个解决方案的误差，非常小，可以接受：

>> err = [norm(A*x1-b) norm(A*x2-b)]
err =
   1.0e-11 *
         0    0.1819

请注意，使用 mldivide、linsolve 或 qr 将得到几乎相同的结果：

>> x3 = linsolve(A,b)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  2.159326e-16. 
x3 =
 -122.1071
         0

>> [Q,R] = qr(A); x4 = R\(Q'*b)
x4 =
 -122.1071
         0

Answer 3

尝试这个称为块 SVD 的 SVD 版本 - 您只需将迭代设置为等于您想要的精度 - 通常 1 就足够了。如果你想要所有的因素（这有一个默认的# selected for factor reduction）然后编辑行 k= 到大小（矩阵）如果我记得我的 MATLAB 正确

A= randn(100,5000);
A=corr(A);
% A is your correlation matrix
tic
k = 1000; % number of factors to extract
bsize = k +50;
block = randn(size(A,2),bsize);
iter = 2; % could set via tolerance

[block,R] = qr(A*block,0);
for i=1:iter
    [block,R] = qr(A*(A'*block),0);
end
M = block'*A;
% Economy size dense SVD.
[U,S] = svd(M,0);
U = block*U(:,1:k);
S = S(1:k,1:k);
% Note SVD of a symmetric matrix is:
% A = U*S*U' since V=U in this case, S=eigenvalues, U=eigenvectors
V=real(U*sqrt(S)); %scaling matrix for simulation
toc
% reduced randomized matrix for simulation
sims = 2000;
randnums = randn(k,sims);
corrrandnums = V*randnums;
est_corr_matrix = corr(corrrandnums');
total_corrmatrix_difference =sum(sum(est_corr_matrix-A))

我的例子表明 SVD 在数值上不如 QR 分解稳定

My example shows SVD is less numerically stable than QR decomposition

matlab

least-squares

svd

matrix-decomposition

qr-decomposition