如何在 Haskell 上实施数学归纳法

Question

data Nat = Zero | Succ Nat
type Predicate = (Nat -> Bool)

-- forAllNat p = (p n) for every finite defined n :: Nat

implies :: Bool -> Bool -> Bool
implies p q = (not p) || q 

basecase :: Predicate -> Bool
basecase p = p Zero 

jump :: Predicate -> Predicate
jump p n = implies (p n) (p (Succ n)) 

indstep :: Predicate -> Bool
indstep p = forallnat (jump p)

问题：

证明如果basecase p和indstep p，则forAllNat p

我不明白的是，如果basecase p和indstep p，那么forAllNat p当然应该是True。

我认为 basecase p 说 P(0) 是正确的，并且 indstep p 说 P(Succ n) 即 P(n+1) 是真的我们需要证明 P(n) 是真的。我对吗？关于如何做到这一点有什么建议吗？

Answer 1

~~你无法在 Haskell.~~ 内证明这一点 () 语言的类型不够依赖。它是一种编程语言，而不是证明助手。我认为作业可能希望您用铅笔和纸来证明它。

不过你可以在 Agda 中完成。

data Nat : Set where
  zero : Nat
  suc : Nat -> Nat

Pred : Set -> Set1
Pred A = A -> Set

Universal : {A : Set} -> Pred A -> Set
Universal {A} P = (x : A) -> P x

Base : Pred Nat -> Set
Base P = P zero
Step : Pred Nat -> Set
Step P = (n : Nat) -> P n -> P (suc n)

induction-principle : (P : Pred Nat) -> Base P -> Step P -> Universal P
induction-principle P b s zero = b
induction-principle P b s (suc n) = s n (induction-principle P b s n)

（您可能会认出 induction-principle 是 Nat 的 foldr。）

当 TypeInType 登陆 GHC 8 时，您可能会得到类似这样的东西。不过它不会很漂亮。

Answer 2

正如 Benjamin Hodgson 指出的那样，您无法在 Haskell 中完全证明这一点。但是，您可以用稍强的先决条件来证明一个命题。我也会忽略 Bool.

不必要的复杂性

{-# LANGUAGE GADTs, KindSignatures, DataKinds, RankNTypes, ScopedTypeVariables #-}

data Nat = Z | S Nat

data Natty :: Nat -> * where
  Zy :: Natty 'Z
  Sy :: Natty n -> Natty ('S n)

type Base (p :: Nat -> *) = p 'Z
type Step (p :: Nat -> *) = forall (n :: Nat) . p n -> p ('S n)

induction :: forall (p :: Nat -> *) (n :: Nat) .
             Base p -> Step p -> Natty n -> p n
induction b _ Zy = b
induction b s (Sy n) = s (induction b s n)

如何在 Haskell 上实施数学归纳法

How to implement mathematics induction on Haskell

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