如果你有另一个因素和溢出的产品，你如何计算一个因素？

Question

a * x = b

我有一个看似相当复杂的乘法/imul 问题：如果我有 a 和 b，如果它们都是 32 位双字（例如 0-1 = FFFFFFFF、FFFFFFFF+1），我如何计算 x = 0)? 例如：

0xcb9102df * x = 0x4d243a5d

在那种情况下，x 是 0x1908c643。我发现了一个类似的问题，但前提不同，我希望有比给出的解决方案更简单的解决方案。

Answer 1

数字具有模乘逆模 2 的幂，当且仅当它们是奇数。其他一切都是经过位移的奇数（即使是零，也可能是任何东西，所有位都被移出）。所以有几种情况：

给定 a * x = b

tzcnt(a) > tzcnt(b)无解
tzcnt(a) <= tzcnt(b) 可解，有 2^tzcnt(a) 个解

第二种情况有1个解的特例，为奇数a，即x = inverse(a) * b

更一般地说，x = inverse(a >> tzcnt(a)) * (b >> tzcnt(a))是一个解，因为你把a写成(a >> tzcnt(a)) * (1 << tzcnt(a))，所以我们用它的逆消去左因子，我们留下右因子作为结果（无论如何都不能取消），然后乘以剩余的结果直到 b。显然，仍然只适用于第二种情况。如果需要，您可以通过填写前 tzcnt(a) 位的所有可能性来枚举所有解决方案。

唯一剩下的就是求逆，你可能已经在其他答案中看到过它，不管它是什么，但为了完整起见，你可以按如下方式计算它：（未测试）

; input x
dword y = (x * x) + x - 1;
dword t = y * x;
y *= 2 - t;
t = y * x;
y *= 2 - t;
t = y * x;
y *= 2 - t;
; result y

如果你有另一个因素和溢出的产品，你如何计算一个因素？

How can you calculate a factor if you have the other factor and the product with overflows?

c++

c

x86

dword