来自 Wolfram、Octave、Jama 的不同特征向量

Question

我有以下矩阵

WolframAlpha 命令 eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}} 产生以下特征值：

lambda_1 = 4
lambda_2 = -2
lambda_3 = -2

以及以下特征向量：

v_1 = (1, 1, 2)
v_2 = (-1, 0, 1)
v_3 = (1, 1, 0)

但是，Octave 命令 [V,D]= eig(M) 给出了以下特征值和特征向量：

    V =
      -0.40825 + 0.00000i   0.24400 - 0.40702i   0.24400 + 0.40702i
      -0.40825 + 0.00000i  -0.41622 - 0.40702i  -0.41622 + 0.40702i
      -0.81650 + 0.00000i  -0.66022 + 0.00000i  -0.66022 - 0.00000i

    D =
    Diagonal Matrix
       4.0000 + 0.0000i                  0                  0
                      0  -2.0000 + 0.0000i                  0
                      0                  0  -2.0000 - 0.0000i

并且，Jama 为我提供了以下特征值：

    4   0   0
    0  -2   0
    0   0  -2

And the following eigenvectors:

      -0.408248  -0.856787  -0.072040
      -0.408248  -0.650770  -1.484180
      -0.816497   0.206017  -1.412140

Octave 和 Jama 的结果似乎彼此不同，而且与 Wolfram 的结果不同——Octave 甚至产生复杂的特征向量，而特征值在所有三种方法中都一致。

任何关于差异的解释，以及如何解释 Octave 和 Jame 结果以匹配 Wolfram 结果？

请注意 http://algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml 处给出的手算与 Wolfram 结果一致。

非常感谢您的帮助。

Answer 1

3 个答案全部正确。

4对应的特征向量可以是(1, 1, 2)的任意倍数。换句话说，只要前两个值相同，第三个数是其两倍大，就是特征向量。

两者都

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i)

和

(-0.408248, -0.408248, -0.816497)

属于这种形式。

特征值-2重复。因此特征值-2对应的特征space是二维的。这意味着很难看出答案是等价的。

描述由两个特征向量(1, 1, 0)和(1, 0, -1)生成的2Dspace最简单的方法是所有(a, b, c)满足

的向量的集合

a - b + c = 0

很容易检查 -2 的所有 6 个特征向量都是这种形式。

Octave 给出的答案是复数，这有点可悲，但实际上并没有错。

来自 Wolfram、Octave、Jama 的不同特征向量

Different eigenvectors from Wolfram, Octave, Jama

java

eigenvalue

jama

eigenvector