用于保存和检索平面中的点的数据结构
Data structure to hold and retrieve points in a plane
定义 1: 点 (x,y) 是控制点 (x',y') 当且仅当 x < x' 且 y < y'。
定义 2： 点 (x,y) 由点 (x',y') 控制当且仅当 x' < x 且 y' < y。
我正在尝试提出支持以下操作的数据结构：
Add(x,y) - 以 O(logn) 复杂度向系统添加一个点 (x,y)，其中 n 是系统中的点数。
Remove(x,y) - 从系统中移除一个点 (x,y)，复杂度为 O(logn)，其中 n 是系统中的点数。
Score(x,y) - Returns (x,y) 控制的点数 - (x,y) 控制的点数。最坏情况复杂度 O(logn).
我尝试使用多个 AVL 树来解决它，但无法提出足够优雅的解决方案。
Point (x,y) is controlling point (x',y') if and only if x < x' and y <
y'.
Point (x,y) is controlled by point (x',y') if and only if x' < x and
y' < y.
让我们假设 (x,y) 是正方形的中间。
(x,y) 是 B 方块中的控制点，并被 C 方块中的点控制。
所需的输出是点数 (x,y) 控件减去点数 (x,y) 被控制。即B中的点数减去C中的点数，B-C（指A,B,C,D中的点数简单A,B,C,D）
我们可以很容易地计算出A+C中的点数，也就是x' < x的点数。
C+D（带 y'y 的点）、B+D（x'>x）也是如此。
我们将 A+C 加到 C+D 即 A+2C+D。
A+B 加起来 B+D 即 A+2B+D。
减去两个：A+2B+D-(A+2C+D) = 2B-2C，除以二：(2B-2C)/2 = B-C 就是需要的输出。
（我假设处理 1D 情况很简单，无需解释。）
以备日后参考
解决方案概要：
我们将维护两个 AVL 树。
- Tree_X：将保留按 X 坐标排序的点。
- Tree_Y：将保存按 Y 坐标排序的点。
两棵树中的每个节点都将保存以下附加数据：
- 左子树中的叶子数。
- 右子树的叶子数。
对于点 $(x,y)$，我们将定义区域 A、B、C、D：
- 如果 x' < x 且 y' > y，点 (x',y') 在 A 中。
- 如果 x' > x 且 y' > y，则点 (x',y') 在 B 中。
- 如果 x' < x 且 y' < y，则点 (x',y') 在 C 中。
- 如果 x' > x 且 y' < y，则点 (x',y') 在 D 中。
现在很明显 Score(x,y) = |C|-|B|。
然而 |A|+|C|, |B|+|D|, |A|+|B|, |C|+|D|可以很容易地从我们的两个 AVL 树中检索到，我们很快就会看到。
并注意 [(|A| + |C| + |C| + |D|) - (|A| + |B| + |B| + |D|)]/2 = |C|-|B|
所需操作的实现：
Add(x,y) - 我们将向我们的两个 AVL 树添加点 (x,y)。由于我们存储的额外数据仅在插入路径上受到影响，并且由于插入发生在 (logn) 中，因此 Add(x,y) 的总成本为 O(logn)。
Remove(x,y) - 我们将从我们的两个 AVL 树中删除点 (x,y)。由于我们存储的额外数据仅在删除路径上受到影响，并且由于删除发生在 (logn) 中，因此 Remove(x,y) 的总成本为 O(logn)。
Score(x,y) - 我将展示如何计算 $|B|+|D|$，就像其他人以类似的方式和相同的复杂性成本所做的那样。显然$|B|+|D|$是满足$x' > x$的点数。为了计算这个数字，我们将：
- 在 AVL_X 中找到 x。复杂度 O(logn).
- 在Tree_X中向上走，直到根，每次向右转，我们将对儿子的左子树中的元素数求和。复杂度 O(logn)。
Remove(x,y) 的总成本为 O(logn)。
定义 1: 点 (x,y) 是控制点 (x',y') 当且仅当 x < x' 且 y < y'。
定义 2： 点 (x,y) 由点 (x',y') 控制当且仅当 x' < x 且 y' < y。
我正在尝试提出支持以下操作的数据结构：
Add(x,y) - 以 O(logn) 复杂度向系统添加一个点 (x,y)，其中 n 是系统中的点数。
Remove(x,y) - 从系统中移除一个点 (x,y)，复杂度为 O(logn)，其中 n 是系统中的点数。
Score(x,y) - Returns (x,y) 控制的点数 - (x,y) 控制的点数。最坏情况复杂度 O(logn).
我尝试使用多个 AVL 树来解决它，但无法提出足够优雅的解决方案。
Point (x,y) is controlling point (x',y') if and only if x < x' and y < y'.
Point (x,y) is controlled by point (x',y') if and only if x' < x and y' < y.
让我们假设 (x,y) 是正方形的中间。 (x,y) 是 B 方块中的控制点，并被 C 方块中的点控制。
所需的输出是点数 (x,y) 控件减去点数 (x,y) 被控制。即B中的点数减去C中的点数，B-C（指A,B,C,D中的点数简单A,B,C,D）
我们可以很容易地计算出A+C中的点数，也就是x' < x的点数。
C+D（带 y'y 的点）、B+D（x'>x）也是如此。
我们将 A+C 加到 C+D 即 A+2C+D。
A+B 加起来 B+D 即 A+2B+D。
减去两个：A+2B+D-(A+2C+D) = 2B-2C，除以二：(2B-2C)/2 = B-C 就是需要的输出。
（我假设处理 1D 情况很简单，无需解释。）
以备日后参考
解决方案概要：
我们将维护两个 AVL 树。
- Tree_X：将保留按 X 坐标排序的点。
- Tree_Y：将保存按 Y 坐标排序的点。
两棵树中的每个节点都将保存以下附加数据：
- 左子树中的叶子数。
- 右子树的叶子数。
对于点 $(x,y)$，我们将定义区域 A、B、C、D：
- 如果 x' < x 且 y' > y，点 (x',y') 在 A 中。
- 如果 x' > x 且 y' > y，则点 (x',y') 在 B 中。
- 如果 x' < x 且 y' < y，则点 (x',y') 在 C 中。
- 如果 x' > x 且 y' < y，则点 (x',y') 在 D 中。
现在很明显 Score(x,y) = |C|-|B|。 然而 |A|+|C|, |B|+|D|, |A|+|B|, |C|+|D|可以很容易地从我们的两个 AVL 树中检索到，我们很快就会看到。 并注意 [(|A| + |C| + |C| + |D|) - (|A| + |B| + |B| + |D|)]/2 = |C|-|B|
所需操作的实现：
Add(x,y) - 我们将向我们的两个 AVL 树添加点 (x,y)。由于我们存储的额外数据仅在插入路径上受到影响，并且由于插入发生在 (logn) 中，因此 Add(x,y) 的总成本为 O(logn)。
Remove(x,y) - 我们将从我们的两个 AVL 树中删除点 (x,y)。由于我们存储的额外数据仅在删除路径上受到影响，并且由于删除发生在 (logn) 中，因此 Remove(x,y) 的总成本为 O(logn)。
Score(x,y) - 我将展示如何计算 $|B|+|D|$，就像其他人以类似的方式和相同的复杂性成本所做的那样。显然$|B|+|D|$是满足$x' > x$的点数。为了计算这个数字，我们将：
- 在 AVL_X 中找到 x。复杂度 O(logn).
- 在Tree_X中向上走，直到根，每次向右转，我们将对儿子的左子树中的元素数求和。复杂度 O(logn)。
Remove(x,y) 的总成本为 O(logn)。