如何提示 Dafny 对序列进行归纳？

Question

我想知道我需要在下面添加什么才能让它通过 dafny？

function mapper (input: seq<int>) : seq<(int, int)>
ensures |mapper(input)| == |input|
{
  if |input| == 0 then []
  else [(0,input[0])] + mapper(input[1..])   
}

// given [(0,n1), (0,n2) ... ] recovers [n1, n2, ...]
function retList (input: seq<(int, int)>, v : int) : seq<int>
ensures |input| >= |retList(input, v)|
ensures forall i :: 0 <= i < |input| && input[i].0 == v ==> input[i].1 in retList(input, v)
ensures forall x,y : int :: (x,y) in input && x == v ==> y in retList(input, v)
{
  if input == [] then []
  else if input[0].0 == v then [input[0].1] + retList(input[1..], v)
  else retList(input[1..], v)
}


method test (input: seq<int>)
requires |input| > 0 
{   
  assert retList(mapper(input), 0) == input;  
}

Answer 1

编辑（我之前的回答不准确）：我认为因为归纳涉及input序列，所以Dafny不能自己做归纳。您编写的代码中没有任何地方会提示 Dafny 的归纳试探法尝试对 input 进行归纳。

所以你需要写 a lemma with input as an argument，当你这样做时，Dafny 会猜测对论证的归纳可能会有所帮助，然后将能够自动进行。您实际上不需要您添加的任何规范。

function mapper (input: seq<int>) : seq<(int, int)>
{
  if |input| == 0 then []
  else [(0,input[0])] + mapper(input[1..])   
}

lemma allKeysRetainsInput(input: seq<int>)
   ensures retList(mapper(input), 0) == input
{ }  

// given [(v,n1), (v+1,n2), (v,n3), ... ] recovers [n1, n3,...]
function retList (input: seq<(int, int)>, v : int) : seq<int>
{
  if input == [] then []
  else if input[0].0 == v then [input[0].1] + retList(input[1..], v)
  else retList(input[1..], v)
}

method test (input: seq<int>)
  requires |input| > 0 
{   
  allKeysRetainsInput(input);
  assert retList(mapper(input), 0) == input;  
}

如果您想查看更多证明，可以关闭该引理的自动归纳。然后你需要手动调用归纳假设

lemma {:induction false} allKeysRetainsInput(input: seq<int>)
   ensures retList(mapper(input), 0) == input
{ 
  if input != [] {
    allKeysRetainsInput(input[1..]);
  }
}

如何提示 Dafny 对序列进行归纳？

How can I prompt Dafny to perform induction on a sequence?

formal-verification

dafny