递归 lambda 演算函数

Question

我想创建一个 lambda 演算函数 P，使得 (P x y z) 给出 ((x y)(x P)(P z))。我尝试使用 Y-combinator/Turing 组合子的变体，即 λg.(g g) 形式的函数，因为我需要重现函数本身，但我看不到任何前进的方向。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

U-combinator 应该可以帮助您创建一个自引用的 lambda 抽象。

这是 Ω，它是最小的非终止程序，很好地展示了 U 组合器。

((λf. (f f))
 (λf. (f f)))

如果你能给它起个名字

Ω := λf.(f f)

这是你的抽象可能看起来的样子

((λP. (P P x y z))
 (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))))

或使用Ω

λx. λy. λz. Ω (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))) x y z

Answer 2

基本上你想解“β方程”P x y z = (x y) (x P) (P z)。有一种求解形式为 M = ... M ... 的方程的通用方法。您只需将右侧包裹在 lambda 中，形成一个术语 L，其中所有出现的 M 都将替换为 m:

L = λm. ... m ...

然后使用定点组合器得到你的解决方案。让我用你的例子来说明。

L = λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)),
    where λxyz. is a shorthand for λx. λy. λz.

然后，P = Y L，展开Y和L我们得到：

P = (λf. (λg. f (g g)) (λg. f (g g))) (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)))
  ->β
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))
// the previous line is our "unfolded" P

让我们检查一下 P 是否符合我们的要求：

P x y z
    =   // unfolding definition of P
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) x y z
    ->β
((λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) x y z
    ->β
(λxyz. (x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)) x y z
    ->β
(x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 1st occurrence of P
(x y) (x P) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 2nd occurrence of P
(x y) (x P) (P z)

Q.E.D.

递归 lambda 演算函数

Recursive lambda calculus function

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