为什么低效的阶乘计算是......高效（且快速）？

Question

我写了这个简单的程序来测试 memoization 技术：

int main() {
    function<double(double)> f = [&f](double i) -> double {
        if (i == 1)
            return 1;
        else
            return i * f(i - 1);
    };
    cout << f(100) << endl;
}

我期望在几秒钟内执行这段代码（因为它的递归效率低下），但实际上只花了几毫秒...为什么？我认为引擎盖下有一些编译器优化，但我不明白会发生什么。

奖金问题： 你能给我一个执行效率低下（编译器优化与否）的简单程序，以便我测试记忆化的好处吗？

Answer 1

记忆主要是一种改进计算 algorithmic complexity 的技术，而不是避免递归。这就是为什么斐波那契数是比阶乘函数更好用的例子（即使 WikiPedia 页面使用阶乘函数）。

看看wikibook on dynamic programming中的数字。在第二个数字中被划掉的所有电话都是您从记忆中获得的节省。使用阶乘函数，什么都不会被划掉。

Answer 2

记忆技术旨在用于优化昂贵的函数调用。阶乘函数并非如此。 C++ 非常快，因此阶乘函数调用的计算时间永远不会超过几毫秒。（至少如果不使用多精度）。 factorial(100) 是 "only" 100 次乘法，所以对 C++ 来说没什么。

如果这只是为了测试或演示目的，我会简单地在函数调用中引入延迟（睡眠、长虚拟循环或其他）。随着记忆的实施，这种延迟不应该发生，所以它在 "almost" 内立即运行。

这是我会做的一个例子。 factorial 是昂贵的功能。 memo_factorial 是实现记忆技术的包装。在函数的第一次调用中，输入和输出的字典被更新，在接下来的具有相同输入的调用中，先前存储的值是 return 所以 "real" 函数不会再次执行。

#define ELAPSE(cmd) { clock_t s = clock();\
    long ret = cmd;\
    cout << "\t" << #cmd\
         << " = " << ret \
         << "\t(" << (clock()-s)/double(CLOCKS_PER_SEC) << " secs)" \
         << endl; }

long factorial(long i) {
    for(clock_t s = clock(); (clock()-s)<CLOCKS_PER_SEC; );
    return i<=1 ? 1 : i*factorial(i-1);
}
long memo_factorial(long i) {
    static map<long,long> saved;
    map<long,long>::const_iterator it = saved.find(i);
    return ( it==saved.end() ) ? (saved[i] = memo_factorial(i)) : it->second;
}

int main() {
    cout << "first execution WITHOUT memoization" << endl;
    for(int i=1; i<5; ++i) {
        ELAPSE( memo_factorial(i) )
    }

    cout << "second execution WITH memoization" << endl;
    for(int i=1; i<5; ++i) {
        ELAPSE( memo_factorial(i) )
    }

    return 0;
}

输出应该是：

first execution WITHOUT memoization
    memo_factorial(i) = 1   (1 secs)
    memo_factorial(i) = 2   (1 secs)
    memo_factorial(i) = 6   (1 secs)
    memo_factorial(i) = 24  (1 secs)
second execution WITH memoization
    memo_factorial(i) = 1   (0 secs)
    memo_factorial(i) = 2   (0 secs)
    memo_factorial(i) = 6   (0 secs)
    memo_factorial(i) = 24  (0 secs)

希望你觉得有用。

此致，亚历克斯

注意：阶乘通常定义在整数值上。当然，它只是一个乘法序列，因此它可以应用于其他类型。

为什么低效的阶乘计算是......高效（且快速）？

Why inefficient factorial computation is...efficient (and fast)?

c++

recursion

memoization