分析短算法的运行时间

Question

我得到了以下代码：

public class alg 
{
    public static int hmm (int x)
    {
        if (x == 1)
        {
            return 2;
        }
        return 2*x + hmm(x-1);
    }

    public static void main (String[] args)
    {
        int x = Integer.parseInt(args[0]);
        System.out.println(hmm(x));
    }
}

所以第一个问题是，这个算法算什么？我刚刚在 eclipse 中输入并运行了它所以我可以更好地看到它的作用（之前是伪代码，我不能在这里输入它所以我输入了代码）。我已经意识到该算法执行以下操作：它将接受输入并将其乘以其以下数字。例如：

input = 3, output = 12 because 3*4 = 12.  
Or Input = 6, output 42 because 6*7 = 42.

好了，下一个问题是我的问题。我被要求分析这个算法的运行时间，但我不知道从哪里开始。我会说，一开始，当我们定义 x 时，我们已经得到 time = 1 我相信 if 循环也会给出 time = 1 。最后一部分，return 2x + alg(x-1) 应该给 "something^x" 或者..？所以最后我们得到了类似 "something^x" + 2 的东西，我怀疑那是对的：/

编辑，也设法输入了伪代码:)

Input: Integer x with x > 1
if x = 1 then
  return 2;
end if
return 2x + hmm(x-1);

Answer 1

函数计算

f(x) = 2(x + x-1 + x-2 + ... + 1)

它会在 O(x) 中运行，即 x 次将被调用为恒定时间 O(1)。

Answer 2

遇到问题时，请尝试使用（小）数字遍历代码。

这算什么?

我们以hmm(3)为例：

3 != 1，所以我们计算2 * 3 + hmm(3-1)。向下一个递归级别。
2 != 1，所以我们计算2 * 2 + hmm(2-1)。向下一个递归级别。
1 == 1，所以我们return2。不再递归，因此 hmm(2-1) == hmm(1) == 2.
回溯一级递归，我们得到2 * 2 + hmm(1) = 2 * 2 + 2 = 4 + 2 = 6。因此 hmm(2) = 6
再往上一层，我们得到2 * 3 + hmm(2) = 6 + 6 = 12

如果仔细观察，算法会计算出：

2*x + ... + 4 + 2

我们可以反转这个并分解出 2 并得到

2 * (1 + 2 + ... + x).

这是一个arithmetic progression，我们有一个众所周知的公式（即x² + x）

需要多长时间？

渐近运行时间为O(n).

没有循环，所以我们只需要计算递归的次数。人们可能会想计算各个计算步骤，但每一步都是常数，所以我们通常将它们组合成一个常数因子 k.

O(n)是什么意思？

好吧...我们进行 x - 1 递归步骤，每一步递减 x 1，直到达到 x == 1。从x = n到x = 1有n - 1这样的步骤。因此，我们需要 k * (n - 1) 操作。

如果你认为n很大，- 1就可以忽略不计，所以我们放弃它。我们还删除了常数因子，因为对于大 n，O(nk) 和 O(n) 也没有太大区别。

分析短算法的运行时间

Analyzing runtime of a short algorithm

java

algorithm

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