java 多头的算术题

Question

我有两个等式：x * x - D * y * y = 1 和 x = sqrt(1 + D * y * y)。两者都是对方的代数运算。

给定 D，我需要求解 x 的最小整数值，使 y 也是整数。我遍历可能的 y 值，将它们代入第二个等式并测试 x 是否为整数。如果是，我return x.

我遇到的问题是，当 x、y 和 D 代入第一个方程时，它不等于 1。

这些是一些有问题的值：

1. x=335159612 y=42912791 D=61
2. x=372326272 y=35662389 D=109

我的直觉是 java 的 Math.sqrt 方法不会计算这么小的小数，但是 BigDecimal 没有平方根方法。

我的数学错了吗？如果没有，我该怎么做才能准确计算出x和y？

编辑：这是问题的根源以及测试双精度数是否为自然数的方法。

public static void main(String[] args){
    long x = 335159612, D = 61, y = 42912791;
    System.out.println(Math.sqrt(D * y * y + 2)); // 3.35159612E8
    System.out.println(x * x - D * y * y); // 3
}

public static boolean isNatural(double d){
    return d == (int)d;
}

Answer 1

如果问题是 sqrt，请改用第一个等式。如果 x 是整数，则 x^2 也将是整数；如果 x 不是整数，那么 x^2 也不会是整数，只要您使用的 BigDecimals 具有足够的数学尺度而不是双倍数。

Answer 2

这种丢番图方程称为佩尔方程。
Wiki.
Mathworld.

两个链接都包含线索 - 如何使用连分数求解这个方程。

我认为应用一些数学而不是蛮力会很好/

Answer 3

注意 'double' 中的精度。

根据 IEEE 754-1985，双精度提供 16 位数字（绝对精确为 15,9）。

例如 a) SQRT(112331965515990542) 是

335159611.99999999701634694576505237017910

其中，当转换为 double 时，给出 3.3515961199999999E8

b) SQRT(112331965515990543)

335159611.99999999850817347288252618840968

其中，当转换为 double 时，给出 3.3515961199999999E8。因此，根据 IEEE 754-1985 定义，这些值是相等的。显然，任何进一步的 logical/mathematical 检查一般来说都是不准确的。

为了克服这个限制，我推荐来自 www.javasoft.ch

的 BigMath 包

import ch.javasoft.math.BigMath;
import java.math.BigDecimal;

class Tester {
    public static void main(String[] args) {
        long D = 61L, y = 42912791L;
        double a = Math.sqrt(D * y * y + 1);
        double b = Math.sqrt(D * y * y + 2);
        System.out.println(a);
        System.out.println(b);
        System.out.println(a == b);

        BigDecimal bda = BigMath.sqrt(new BigDecimal(D * y * y + 1), 32);
        BigDecimal bdb = BigMath.sqrt(new BigDecimal(D * y * y + 2), 32);
        System.out.println(bda.toString());
        System.out.println(bdb.toString());
        System.out.println(bda.equals(bdb));
    }
}

结果：

3.35159612E8
3.35159612E8
true
335159611.99999999701634694576505237017910
335159611.99999999850817347288252618840968
false

P.s。要彻底毁掉你对标准 Java 数学的信心，试试这个：

System.out.println(0.9200000000000002);
System.out.println(0.9200000000000001);

您将看到：

0.9200000000000002
0.9200000000000002

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