求解具有复共轭的方程

Question

当我尝试这样做时：

(%i1) declare (z, complex);
(%o1)                                done
(%i2) eq1: z^3 + 3 * %i * conjugate(z) = 0;
                                               3
(%o2)                     3 %i conjugate(z) + z  = 0
(%i3) solve(eq1, z);
                  1/6   5/6       1/3              1/3
             (- 1)    (3    %i - 3   ) conjugate(z)
(%o3) [z = - -----------------------------------------, 
                                 2
         1/6   5/6       1/3              1/3
    (- 1)    (3    %i + 3   ) conjugate(z)
z = -----------------------------------------, 
                        2
           1/6  1/3             1/3
z = - (- 1)    3    conjugate(z)   ]

偶联物未简化。 z z 的解决方案不是很有用。有没有办法简化它？

此外，如何简化 (-1)^(1/6) 部分？

另外，这个方程明明有0的根，但它不在解集中，为什么？

Answer 1

我认为 solve 对 conjugate 一无所知。试试这个以 z 的实部和虚部作为两个变量来解决它。像这样：

(%i2) declare ([zr, zi], real) $
(%i3) z : zr + %i*zi $
(%i4) eq1: z^3 + 3 * %i * conjugate(z) = 0;
(%o4) (zr+%i*zi)^3+3*%i*(zr-%i*zi) = 0
(%i5) solve (eq1, [zr, zi]);
(%o5) [[zr = %r1,
        zi = (sqrt(9*%r1^2-%i)+3*%r1)^(1/3)-%i/(sqrt(9*%r1^2-%i)+3*%r1)^(1/3)
                                           +%i*%r1],
       [zr = %r2,
        zi = ((sqrt(3)*%i)/2-1/2)*(sqrt(9*%r2^2-%i)+3*%r2)^(1/3)
           -(%i*((-(sqrt(3)*%i)/2)-1/2))/(sqrt(9*%r2^2-%i)+3*%r2)^(1/3)
           +%i*%r2],
       [zr = %r3,
        zi = ((-(sqrt(3)*%i)/2)-1/2)*(sqrt(9*%r3^2-%i)+3*%r3)^(1/3)
           -(%i*((sqrt(3)*%i)/2-1/2))/(sqrt(9*%r3^2-%i)+3*%r3)^(1/3)+%i*%r3]]

注意解决方案中的变量%r1、%r2 和%r3。这些代表任意值。

求解具有复共轭的方程

Solve equation with complex conjugate

maxima